约瑟夫（Joseph）问题

本科面试考过，所以搞一下这个问题。
一、m个人，编号1至m，围成一圈，从第1个人开始数，数到k出局，问最后出局人的编号。

二、如m=5，k=3：

1,2,3,4,5—>1,2,(3),4,5—>(1),2,(0),4,5—>(0),2,(0),4,(5)—>(0),(2),(0),4,(0)—>(0),(0),(0),(4),(0)

1,2,3,4,5—>1,2,4,5—>2,4,5—>2,4—>4—>

可以看出，3、1、5、2依次出局。最终剩下4。

三、一般性：

  1,…,k-1,k,k+1,…,m     

->1,…,k-1,(k),k+1,…,m                              //一次出局过程

->m-k+1,…,m-1,(0),1,…,m-k                   //圈子重新编号

->m-k+1,…,m-1,1,…,    m-k

->1,…,k-1,k,k+1,…,m-1

->1,…,k-1,k,k+1,…,m-i                              //假设已知i号圈子

->m-i-k+1,…,m-i,(0),1,…,          m-i-k       //出局一人

->m-i-k+1,…,m-i,1,…,k,k+1,…,m-i-k

->m-i-2k+1, …,m-i-1,(0),1,…,m-i-2k

->m-i-2k+1, …,m-i-1,      1,…,m-i-2k

->1,…,k-1,k,k+1,…,m-i-1                           //推出i+1号圈子

…

->1

->0

假设最终胜利者在i次出局后编号为f(i)，则该次出局前后编号关系为：

f(i)=(f(i+1)+k-1)%(m-i)+1 <=> f(i-1)=(f(i)+k-1)%(m-i+1)+1

四、编程，f(m)=0，求f(0)。

#include <iostream>
using namespace std;
int ysf(int m,int k)//m>=1,k>=1
{
int final=0;
for(int i=m;i>0;i--){
final=(final+k-1)%(m-i+1)+1;
//cout<<final<<endl;
}
return final;
}
int main(){
cout<<"res:"<<ysf(5,3)<<endl;
return 0;
}

五、最后出局人即是最后圈子的0号人，若要求全部出圈人，就是求全部圈子的0号人。

六、扩展约瑟夫问题

当第m个人报号出列以后，报数就改为这个出列人的编号了。比如第一次是2号出列，那么就改为报到2的人出列，这个问题又怎么解决呢？