poj 2154 Color（欧拉函数模板+ploya定理）

题目要求：给出两个整数n和p，代表n个珠子，n种颜色，要求不同的项链数，并对结果mod（p）处理。

置换只有旋转一种方式，那么共有n个置换

基本知识：环的个数为gcd(n , i) , 长度L=n / gcd(n , i) 其中 i 为转的位子数

普通求法: ∑n^( gcd(n,i) ) 0<=i<n 复杂度过高

优化:枚举环的长度L

枚举优化: L可以从1取到sqrt(n) ,因为L|n , n/L | n

对于每个L,我们再看有几个i满足条件

n/L = gcd(n , i)

那么令 a=n/L = gcd(n , i) , 再设i = at

那么当且仅当gcd(L,t)=1时候，才有gcd(n,i) = a

显然满足条件的i的个数就是t的个数也就是phi(L)

那么最后统计一下就是 ∑(phi(L) * N^(L-1) ) % p (L即枚举值)

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<string.h>
#include<math.h>
#include<vector>
using namespace std;
typedef int LL;
LL n,p,res;
#define N 80005
int prime
,vis
;
void inint()
{
int i,j,k,c=0;
memset(vis,0,sizeof(vis));
for(i=2;i<N;i++)
{
if(!vis[i])
{
prime[c++]=i;
}
for(j=0;j<c&&(k=prime[j]*i)<N;j++)
{
vis[k]=1;
if(i%prime[j]==0)  break;
}
}
}
LL pow(LL a,LL m)
{
LL r=1;
a=a%p; //没用的话，中间会超int
while(m)
{
if(m&1) r=(r*a)%p;
a=(a*a)%p;
m>>=1;
}
return r;
}
LL euler(LL x) //单独求欧拉函数模板
{
LL r=x;
for(int i=0;prime[i]*prime[i]<=x;i++)
{
if(x%prime[i]==0) r=r/prime[i]*(prime[i]-1);
while(x%prime[i]==0) x/=prime[i];
}
if(x>1) r=r/x*(x-1);
return r;
}

int main()
{
int j,t;
LL i;
inint();
scanf("%d",&t);
while(t--)
{
res=0;
scanf("%d%d",&n,&p);
for(i=1;i*i<n;i++)
{
if(n%i==0)
res=(res+(euler(n/i)%p)*pow(n,i-1)+(euler(i)%p)*pow(n,n/i-1))%p;
}
if(i*i==n) res=(res+(euler(i)%p)*pow(n,i-1))%p;
printf("%d\n",res);
}
return 0;
}