有向图和无向图的连通性学习小记 Poj 1269 迷宫城堡

2014-7-30 更新

学习资料

有向图的强连通分量入门

有向图强连通分量的Tarjan算法 - BYVoid

强连通分支、桥和割点

图的割点、桥与双连通分支 - BYVoid

知识点小记

一些定理：

1. 有向无环图中唯一出度为0的点，一定可以由任何点出发均可达(由于无环，所以从任何点出发往前走，必然终止于一个出度为0的点)

2. 有向无环图中所有入度不为0的点，一定可以由某个入度为0的点出发可达。(由于无环，所以从任何入度不为0的点往回走，必然终止于一个入度为0的点)

3. 一个点u是割点，当且仅当满足(1)或(2)

(1) u为树根，且u有多于一个子树。

(2) u不为树根，且满足存在(u,v)为树枝边(或称父子边，即u为v在搜索树中的父亲)，使得dfn(u)<=low(v)。

4. 一条无向边(u,v)是桥，当且仅当(u,v)为树枝边，且满足dfn(u)<low(v)（前提是其没有重边）。

无向连通图点双连通分支 ： 不包含割点的极大连通子图

无向连通图边双连通分支 ： 不包含桥的极大连通子图

举例：如图，所有边均为无向边



由于去掉任意一条边原图都是连通的，所以原图整体是边双连通的，但3是一个割点，如果去掉3原图就不连通了，所以原图整体不是点双连通的。

重边和自环的影响：

自环指含有连向自己的边。

有向图：只有一种强连通，重边和自环对于强连通都没有任何影响。

无向图：双连通分为点双连通和边双连通

自环对于两种双连通没有任何影响

重边对点双连通没有影响，但是对于边双连通有影响，因为在求边双连通时，要求对于任意两点至少存在两条“边不重复”的路径。

还没做的题目

Hdu 3844 求点双连通分量

Poj 3352 加边做双连通图

Poj 1523 无向图求割点及去除割点后产生的块数

POJ1904/ZOJ2470 King's Quest（tarjan判强连通分量） - laoda扯一扯

HDU 4685 二分图匹配+tarjan

Poj 3694 结合LCA

Poj 2942 涉及奇环

Poj 3592 缩点+最长路

强连通模板

同时适用于无向图求割点

#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <stack>
#define min(x,y) ((x)<(y)?(x):(y))
#define max(x,y) ((x)>(y)?(x):(y))
using namespace std;

const int INF=0x3f3f3f3f;

const int nPoint=1010;   //原节点数
const int nEdges=30005;  //原边数
const int nNewmap=1005;  //新图最大节点数

class SCC // strongly connected components
{//节点标号从1开始
private:
	struct Edge
	{
		int v,next;
	}edges[nEdges];

	int dfn[nPoint],low[nPoint],head[nPoint];//dfn(u)为节点u搜索的次序编号(时间戳),low(u)为u或u的子树能够追溯到的最早的栈中节点的次序号
	bool visit[nPoint];   //标记是否在栈中
	int in[nPoint],out[nPoint],color[nPoint];   //color[]保存各强连通分量包含的节点数,in[]各强连通分量的入度,out[]各强连通分量的出度
	int belong[nPoint];             //每个结点所对应的强连通分量标号数组
	bool DAG[nNewmap][nNewmap];      //存储缩点之后的新图,有向无环图DAG
	int n,e,id,colornum;         //colornum强连通分量的个数
	int nIn_0,nOut_0;        //nIn_0=0入度为0的点的个数,nOut_0=0出度为0的点个数
	stack<int> S;

	int cnt[nPoint];   //存储割点被切掉后会新分出的块数,可用来统计割点个数(不为0即为割点)

	void DFS (int u)
	{
		int i,top,v;
		dfn[u]=low[u]=++id;  //id为时间戳
		S.push(u);
		visit[u]=true;
		for (i=head[u];i!=-1;i=edges[i].next)
		{
			v=edges[i].v;
			if (dfn[v]==0)
			{//未被访问
				DFS(v);//继续向下找
				if (low[v]>=dfn[u])  //是割点,统计
					cnt[u]++;
				low[u]=min(low[u],low[v]);//更新u节点所能到达的最小层数
			}
			else if (visit[v])
				low[u]=min(low[u],dfn[v]);
		}
		if (dfn[u]<=low[u])   //  ==
		{//如果节点u是强连通分量的根
			colornum++;   //连通分量标号+1
			do
			{
				top=S.top(); //
				S.pop();
				visit[top]=false;
				belong[top]=colornum; //出栈节点top属于colornum标号的强连通分量
				color[colornum]++;
			}while (top!=u);  //直接将u从栈中退出
		}
	}

public:

	void Init (int _n)
	{
		n=_n;
		id=colornum=e=0;
		nIn_0=nOut_0=0;
		memset(head,-1,sizeof(head));
		memset(visit,false,sizeof(visit));
		memset(dfn,0,sizeof(dfn));
		memset(in,0,sizeof(in));
		memset(out,0,sizeof(out));
		memset(cnt,0,sizeof(cnt));
	}
	
	void Add (int u,int v)
	{
		edges[e].v=v;
		edges[e].next=head[u];
		head[u]=e++;
	}
	
	int Tarjan ()  //返回强连通分量的个数
	{
		while (!S.empty())   //清空栈
			S.pop();
		
		for (int i=1;i<=n;i++)  //枚举每个节点,搜索连通分量
			if (!dfn[i])   //未被访问
			{
				DFS(i);   //则找该节点的连通分量
				/*不可以在这里计算colornum,例对于5个节点的有向图,边
				1 2,1 4,1 3,2 4,2 5,5 1会返回错误结果 1个 */
				cnt[i]--;   //原来本身有一块
			}
		return colornum;
	}
	
	void Cal ()    //计算in[],out[],nOut_0,nIn_0
	{//与TopoOrder ()同时调则无法正确计算 in 数组(重复使用)
		int i,j;
		Tarjan();
		for (i=1;i<=n;i++)
			for (j=head[i];j!=-1;j=edges[j].next)
				if (belong[i]!=belong[edges[j].v])
				{
					in[belong[edges[j].v]]++;
					out[belong[i]]++;
				}
		for (i=1;i<=colornum;i++)
		{
			nOut_0+=!out[i];
			nIn_0+=!in[i];
		}
	}

	void Build ()       //建立新图DAG
	{
		memset(DAG,0,sizeof(DAG));
		for (int i=1;i<=n;i++)
			for (int j=head[i];j!=-1;j=edges[j].next)
				if (belong[i]!=belong[edges[j].v])
					DAG[belong[i]] [belong[edges[j].v]] =true;
	}

	bool TopoOrder ()  //拓扑排序,返回是否有分叉
	{//既是否为一条链
		int i,j;
		for (i=1;i<=colornum;i++)
			for (j=1;j<=colornum;j++)
				if (DAG[i][j]) in[j]++;
		for (i=1;i<colornum;i++)
		{
			int cnt=0;  //分支条数
			int p=0;  //下一节点
			for (j=1;j<=colornum && cnt<=1;j++)
				if (in[j]==0)
					cnt++,p=j;
			if (cnt>1) return false;
			for (j=1;j<=colornum;j++)
				if (DAG[p][j]) in[j]--;
			in[p]=INF;
		}
		return true;
	}

	void Deal ()
	{//计算割点数目
		Tarjan ();
		int k=0;
		for (int i=1;i<=n;i++)
			if (cnt[i])
				k++;
		printf("%d\n",k);
	}
}ob;

int main ()  
{ 
#ifdef ONLINE_JUDGE
#else
	freopen("read.txt","r",stdin);
#endif 
	int n,u,v;  
	while (scanf("%d",&n),n)  
	{
		ob.Init (n);  
		while (scanf("%d",&u),u) while (getchar()!='\n')  
		{  
			scanf("%d",&v);  
			ob.Add(u,v);  
			ob.Add(v,u);  
		}  
		ob.Deal ();
	}  
	return 0;  
}

双连通模板

可以求桥，缩点，可用于有重边

其他写法可以参考 边双连通模版 - 九野的博客

#pragma comment(linker, "/STACK:1024000000,1024000000")
#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <stack>
#include <queue>
#include <vector>
#define min(x,y) ((x)<(y)?(x):(y))
#define max(x,y) ((x)>(y)?(x):(y))
using namespace std;

const int INF=0x3f3f3f3f;

const int nPoint=200010;
const int nEdges=2000010;
vector<int>G[nPoint];

class BCC
{
public:
	struct Edge{
		int from, to, next;
		bool cut;  //是否为桥
	}edge[nEdges];

	int e,id,n;
	int head[nPoint],dfn[nPoint], low[nPoint];
	int colornum, top; //双连通分量数,栈顶
	int color[nPoint],Stack[nPoint];
	bool iscut[nPoint];  //该点是否为割点
	int bri_cut;    //桥的数目

	void Add (int u, int v){
		Edge E={u,v,head[u],false};
		edge[ e ] = E;
		head[u] = e++;
	}

	void Tarjan (int u, int pre)
	{
		dfn[u]=low[u]=++id;
		Stack[++top]=u;
		int child=0, flag=1;
		
		for (int i=head[u]; ~i; i=edge[i].next)
		{
			int v=edge[i].to;
			//if (v == pre) continue; //重边算一条的写法
			if (flag && v==pre)
			{//重边有效的写法
				flag = 0; 
				continue;
			}
			if (!dfn[v])
			{
				child++;
				Tarjan(v,u);
				low[u] = min(low[u], low[v]);
				if (low[v] >= dfn[u])
				{
					iscut[u] = true;  //是割点
					if (low[v]>dfn[u])
						edge[i].cut = edge[i^1].cut = true;  //是桥
				}
			}
			else low[u] = min(low[u], dfn[v]);
		}
		if (child == 1 && pre<0) //树根
			iscut[u] = false;
		if (low[u] == dfn[u])
		{
			colornum++;
			do
			{
				color[ Stack[top] ] = colornum;
			}while(Stack[top--] != u);
		}
	}

	void Init (int _n)
	{
		n=_n;
		memset(head, -1, sizeof(head));
		memset(dfn, 0, sizeof(dfn));
		memset(iscut, 0, sizeof(iscut));
		memset(color, -1, sizeof(color));
		bri_cut=e=id= 0;
		top = colornum = 0;
	}

	void Deal ()
	{
		int i;
		for (i=1; i<=n; i++) if (!dfn[i])
			Tarjan(i, -1);
		for (i=0; i<=colornum; i++)
			G[i].clear();
		for (i=0; i<e; i+=2)
		{//建新图
			int u = color[edge[i].from];
			int v = color[edge[i].to];
			if (u != v)
				G[u].push_back(v), G[v].push_back(u);
			bri_cut += edge[i].cut;
		}
	}
}ob;

int n,m;

int main ()
{
#ifdef ONLINE_JUDGE
#else
	freopen("read.txt","r",stdin);
#endif
	while (scanf("%d%d",&n,&m), m+n)
	{
		ob.Init(n);
		int u,v;
		while (m--)
		{
			scanf("%d %d",&u,&v);
			ob.Add(u,v);
			ob.Add(v,u);
		}
		ob.Deal();
	}
	return 0;
}

Poj 1269

#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <stack>
#define min(x,y) ((x)<(y)?(x):(y))
#define max(x,y) ((x)>(y)?(x):(y))
using namespace std;

const int nPoint=10005;
const int nEdges=100005;

class Qiangliantong
{
private:
	struct Edge
	{
		int v,next;
	}edges[nEdges];

	int dfn[nPoint],low[nPoint],head[nPoint];
	bool visit[nPoint];   //标记是否在栈中
	int in[nPoint],out[nPoint],color[nPoint];   //color[]保存各强连通分量包含的节点数,in[]各强连通分量的入度,out[]各强连通分量的出度
	int DAG[nPoint];             //储存新图,有向无环图DAG,也即每个结点所对应的强连通分量标号数组
	int n,e,id,colornum;         //colornum强连通分量的个数
	int nIn_0,nOut_0;        //nIn_0=0入度为0的点的个数,nOut_0=0出度为0的点个数
	stack<int> S;

	void DFS (int u)
	{
		int i,top,v;
		dfn[u]=low[u]=++id;  //id为时间戳
		S.push(u);
		visit[u]=true;
		for (i=head[u];i!=-1;i=edges[i].next)
		{
			v=edges[i].v;
			if (!dfn[v])
			{//未被访问
				DFS(v);//继续向下找
				low[u]=min(low[u],low[v]);//更新u节点所能到达的最小层数
			}
			else if (visit[v])
				low[u]=min(low[u],dfn[v]);
		}
		if (dfn[u]<=low[u])   //  ==
		{//如果节点v是强连通分量的根
			colornum++;   //连通分量标号+1
			do
			{
				top=S.top(); //
				S.pop();
				visit[top]=false;
				DAG[top]=colornum; //出栈节点top属于colornum标号的强连通分量
				color[colornum]++;
			}while (top!=u);  //直接将u从栈中退出
		}
	}

public:

	void Init (int _n)
	{
		n=_n;
		id=colornum=e=0;
		nIn_0=nOut_0=0;
		memset(head,-1,sizeof(head));
		memset(visit,false,sizeof(visit));
		memset(dfn,0,sizeof(dfn));
		memset(in,0,sizeof(in));
		memset(out,0,sizeof(out));
	}
	
	void Add (int u,int v)
	{
		edges[e].v=v;
		edges[e].next=head[u];
		head[u]=e++;
	}
	
	int Tarjan ()  //返回强连通分量的个数
	{
		int i;	
		while (!S.empty())   //清空栈
			S.pop();
		for (i=1;i<=n;i++)  //枚举每个节点,搜索连通分量
			if (!dfn[i])   //未被访问
				DFS(i);   //则找该节点的连通分量
		return colornum;
	}
	
	void Cal ()    //计算in[],out[],nOut_0,nIn_0
	{
		int i,j;
		Tarjan();
		for (i=1;i<=n;i++)
			for (j=head[i];j!=-1;j=edges[j].next)
				if (DAG[i]!=DAG[edges[j].v])
				{
					in[DAG[edges[j].v]]++;
					out[DAG[i]]++;
				}
		for (i=1;i<=colornum;i++)
		{
			nOut_0+=!out[i];
			nIn_0+=!in[i];
		}
	}
}ob;

int main ()
{
	int n,m;
	while (scanf("%d%d",&n,&m),n || m)
	{
		ob.Init (n);
		while (m--)
		{
			int u, v;
			scanf("%d%d",&u,&v);
			ob.Add(u,v);
		}
        ;
		if (ob.Tarjan() == 1)
			printf("Yes\n");  //只有一个强连通分量，说明此图各个结点都可达
		else printf("No\n");
	}
	return 0;
}