盒子与球解题报告

题目描述：

Description

现有r个互不相同的盒子和n个互不相同的球，要将这n个球放入r个盒子中，且不允许有空盒子。问有多少种方法？
例如：有2个不同的盒子（分别编为1号和2号）和3个不同的球（分别编为1、2、3号），则有6种不同的方法：

Input

两个整数，n和r，中间用空格分隔。（0≤n,r≤10）

Output

仅一行，一个整数（保证在长整型范围内）。表示n个球放入r个盒子的方法。

SampleInput

32

SampleOutput

6

思路：一道数学问题，与求包含n个元素的集合划分为正好k个非空不相交子集的方法的数目十分相似，所以用Stirling数来解决，

递推公式为：

S(n,k)=0;(n<k||k=0)
S(n,n)=S(n,1)=1,

S(n,k)=S(n-1,k-1)+kS(n-1,k).

当然这道题还有一点不同之处就是每个盒子又有区别，所以到最后求出Stirling数后，还要乘上k(盒子数)的全排列。

以下为记忆化搜索和递推两种思路的源代码：

记忆化搜索源程序：

#include<iostream>
#include<cstdio>
usingnamespacestd;
intn,k,sum=0;
voidinit()
{
scanf("%d%d",&n,&k);
}
intwork(intn,intk)
{
if(k>n)
return(0);
elseif(k==1||k==n)
return(1);
elsereturn(work(n-1,k-1)+work(n-1,k)*k);
}
intjiecheng(intk)
{
inti;
intzong=1;
for(i=k;i>0;i--)
zong*=i;
return(zong);
}
voidsolve()
{
if(k==1)
printf("%d",1);
elseif(k==n)
printf("%d",jiecheng(k));
elseif(k>n)
printf("%d",0);
elseif(k==0)
printf("%d",0);//中间加了好多特殊情况判断，感觉有点没有必要~~
else
{
sum=work(n,k);
printf("%d",sum*jiecheng(k));
}
}
intmain()
{
init();
solve();
}

递推源代码：

#include<iostream>
#include<cstdio>
usingnamespacestd;
inta[11][11];
intn,k;
voidinit()
{
freopen("1257.in","r",stdin);
scanf("%d%d",&n,&k);
a[0][0]=1;
}
intjiecheng(intk)
{
inti;
intzong=1;
for(i=k;i>0;i--)
zong*=i;
return(zong);
}
voidsolve()
{
inti,j;
for(i=1;i<=k;i++)
for(j=1;j<=n;j++)
a[j][i]=a[j-1][i-1]+(a[j-1][i]*i);
freopen("1257.out","w",stdout);
printf("%d",a
[k]*jiecheng(k));
}
intmain()
{
init();
solve();
}
反思：没有什么注释的，只要细心即可。

斯特林数

斯特林数出现在许多组合枚举问题中.对第一类斯特林数StirlingS1[n,m]，给出恰包含m个圈的n个元素的排列数目.斯特林数满足母函数关系.注意某些的定义与Mathematica中的不同，差别在于因子.第二类斯特林数StirlingS2[n,m]给出把n个可区分小球分配到m个不可区分的的盒子，且盒子没有空盒子的方法的数量.它们满足关系.划分函数PartitionsP
给出把整数n写为正整数的和，不考虑顺序的方法的数目.PartitionsQ
给出把整数n写为正整数的和，并且和中的整数是互不相同的写法的数目

设S(p,k)是斯特林数

S(p,k)的一个组合学解释是：将p个物体划分成k个非空的不可辨别的（可以理解为盒子没有编号）集合的方法数。

S(p,k)的递推公式是：

　S(p,k)=k*S(p-1,k)+S(p-1,k-1),1<=k<=p-1

边界条件：

S(p,p)=1,p>=0

S(p,0)=0,p>=1

递推关系的说明：考虑第p个物品，p可以单独构成一个非空集合，此时前p-1个物品构成k-1个非空的不可辨别的集合，方法数为S(p-1,k-1)；也可以前p-1种物品构成k个非空的不可辨别的集合，第p个物品放入任意一个中，这样有k*S(p-1,k)种方法。

第一类斯特林数和第二类斯特林数有相同的初始条件，但递推关系不同。引用Brualdi《组合数学》里的一段注释“对于熟悉线性代数的读者，解释如下：具有（比如）实系数，最多为p次的那些各项式形成一个p+1维的向量空间。组1，n，n^2，...。n^p和组A(n,0)，A(n,1)，A(n,2)，...，A(n,p)都是该空间的基。第一类Stirling数和第二类Stirling数告诉我们如何用其中的一组基表示另一组基。”