01背包问题

01背包问题
      动态规划是用空间换时间的一种方法的抽象。其关键是发现子问题和记录其结果，然后利用这些结果减轻运算量。
      比如01背包问题。

      因为背包最大容量M未知。所以，我们的程序要从1到M一个一个的试。比如，开始任选N件物品的一个。看对应M的背包，能不能放进去，如果能放进去，并且还有多的空间，则，多出来的空间里能放N-1物品中的最大价值。怎么能保证总选择是最大价值呢？看下表。

 


 


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     c[i][j]数组保存了1,2,3号物品依次选择后的最大价值.

     这个最大价值是怎么得来的呢?从背包容量为0开始,1号物品先试,0,1,2,的容量都不能放.所以置0,背包容量为3则里面放4.这样,这一排背包容量为4,5,6,....10的时候，最佳方案都是放4.假如1号物品放入背包.则再看2号物品.当背包容量为3的时候，最佳方案还是上一排的最佳方案c为4.而背包容量为5的时候，则最佳方案为自己的重量5（此时价值更高）.背包容量为7的时候，很显然是5加上一个值了。加谁??很显然是7-4=3的时候.上一排c3的最佳方案是4.所以。总的最佳方案是5+4为9.这样.一排一排推下去。最右下放的数据就是最大的价值了。(注意第3排的背包容量为7的时候,最佳方案不是本身的6.而是上一排的9.说明这时候3号物品没有被选.选的是1,2号物品.所以得9.)

     从以上最大价值的构造过程中可以看出。

                  阶段是：在前N件物品中，选取若干件物品放入背包中；
                 状态是：在前N件物品中，选取若干件物品放入所剩空间为W的背包中的所能获得的最大价值；
                 决策是：第N件物品放或者不放；
         由此可以写出动态转移方程：（我们用f[i,j]表示在前 i件物品中选择若干件放在所剩空间为 j 的背包里所能获得的最大价值 ）
                   f[i,j]=max{ f[i-1,j]，f[i-1,j-Wi]+P（i，j）}  (j>=Wi)
         如USACO 2.2.2

for(i=2;i<=n;i++)
for(j=1;j<=s;j++)
{
if(j>=i) f[i][j]=max(f[i-1][j],f[i-1][j-i]+f[i-1][j]);                               else f[i][j]=f[i-1][j];
}

         这就是书本上写的动态规划方程.

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