POJ 1061 青蛙的约会 扩展欧几里得算法的应用及介绍(好题)
2013-09-05 21:14
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[align=center]青蛙的约会[/align]
Description
两只青蛙在网上相识了,它们聊得很开心,于是觉得很有必要见一面。它们很高兴地发现它们住在同一条纬度线上,于是它们约定各自朝西跳,直到碰面为止。可是它们出发之前忘记了一件很重要的事情,既没有问清楚对方的特征,也没有约定见面的具体位置。不过青蛙们都是很乐观的,它们觉得只要一直朝着某个方向跳下去,总能碰到对方的。但是除非这两只青蛙在同一时间跳到同一点上,不然是永远都不可能碰面的。为了帮助这两只乐观的青蛙,你被要求写一个程序来判断这两只青蛙是否能够碰面,会在什么时候碰面。
我们把这两只青蛙分别叫做青蛙A和青蛙B,并且规定纬度线上东经0度处为原点,由东往西为正方向,单位长度1米,这样我们就得到了一条首尾相接的数轴。设青蛙A的出发点坐标是x,青蛙B的出发点坐标是y。青蛙A一次能跳m米,青蛙B一次能跳n米,两只青蛙跳一次所花费的时间相同。纬度线总长L米。现在要你求出它们跳了几次以后才会碰面。
Input
输入只包括一行5个整数x,y,m,n,L,其中x≠y < 2000000000,0 < m、n < 2000000000,0 < L < 2100000000。
Output
输出碰面所需要的跳跃次数,如果永远不可能碰面则输出一行"Impossible"
Sample Input
Sample Output
Source
浙江
扩展欧几里得算法通常解决三种问题:
1:求解不定方程;
2:求解模的逆元;
3:求解同余方程;
设a和b不全为0,则存在整数x和y,使得:
gcd(a,b)=x*a+y*b;
对于一个二元一次方程Ax+By=C(A,B已知),可以用扩展欧几里得算法求的其中的一个解x(或者y),不过所求的解并不是最小的,也不是最大的,只不过是方程的一个。下面给出两种扩展欧几里得的具体代码。
第一种是迭代的扩展欧几里得算法:
第二种是递归的欧几里得算法:
long long extended_euclidean(long long n, long long m, long long &x, long long &y) {
if (m == 0) {
x = 1; y = 0; return n;
}
long long g = extended_euclidean(m, n % m, x, y);
long long t = x - n / m * y;
x = y;
y = t;
return g;
}
其中,传过来x和y是新定义的两个变量,无初值也没有赋初值,返回的B就是Ax+By=C这个方程的一个解。
那么对于这个题来说第一只青蛙的坐标是x+m*t,第二只青蛙的坐标是y+n*t。它们相遇的充要条件是:x+m*t-y-n*t=p*L(p属于Z),即
(n-m)*t+L*p=x-y。L>0.设A=n-m,B=x-y,就转化为求A*t+L*p=B的最小t(t>0)。即求一次同余方程A*t=B%L的最小整数解。
1:用欧几里得算法求解A*t+L*p=B。即exgcd(A,&x,L,&y)则得到的值X是一个解,但不是最后的解。
2:若B%gcd(A,L)==0,则有解。
3:设M=gcd(A,L),X=X*(x-y)/M,然后(X%(L/M)+L/M)%(L/M)就是最后的解,也就是最小的t。
[align=center]青蛙的约会[/align]
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两只青蛙在网上相识了,它们聊得很开心,于是觉得很有必要见一面。它们很高兴地发现它们住在同一条纬度线上,于是它们约定各自朝西跳,直到碰面为止。可是它们出发之前忘记了一件很重要的事情,既没有问清楚对方的特征,也没有约定见面的具体位置。不过青蛙们都是很乐观的,它们觉得只要一直朝着某个方向跳下去,总能碰到对方的。但是除非这两只青蛙在同一时间跳到同一点上,不然是永远都不可能碰面的。为了帮助这两只乐观的青蛙,你被要求写一个程序来判断这两只青蛙是否能够碰面,会在什么时候碰面。
我们把这两只青蛙分别叫做青蛙A和青蛙B,并且规定纬度线上东经0度处为原点,由东往西为正方向,单位长度1米,这样我们就得到了一条首尾相接的数轴。设青蛙A的出发点坐标是x,青蛙B的出发点坐标是y。青蛙A一次能跳m米,青蛙B一次能跳n米,两只青蛙跳一次所花费的时间相同。纬度线总长L米。现在要你求出它们跳了几次以后才会碰面。
Input
输入只包括一行5个整数x,y,m,n,L,其中x≠y < 2000000000,0 < m、n < 2000000000,0 < L < 2100000000。
Output
输出碰面所需要的跳跃次数,如果永远不可能碰面则输出一行"Impossible"
Sample Input
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Sample Output
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Source
浙江
扩展欧几里得算法通常解决三种问题:
1:求解不定方程;
2:求解模的逆元;
3:求解同余方程;
设a和b不全为0,则存在整数x和y,使得:
gcd(a,b)=x*a+y*b;
对于一个二元一次方程Ax+By=C(A,B已知),可以用扩展欧几里得算法求的其中的一个解x(或者y),不过所求的解并不是最小的,也不是最大的,只不过是方程的一个。下面给出两种扩展欧几里得的具体代码。
第一种是迭代的扩展欧几里得算法:
int exgcd(int A,int &x,int B,int &y) { int x1,y1,x0,y0; x0=1;y0=0; x1=0;y1=1; int r=(A%B+B)%B; int q=(A-r)/B; x=0;y=1; while(r) { x=x0-q*x1; y=y0-q*y1; x0=x1; y0=y1; x1=x;y1=y; A=B;B=r;r=A%B; q=(A-r)/B; } return B; }
第二种是递归的欧几里得算法:
long long extended_euclidean(long long n, long long m, long long &x, long long &y) {
if (m == 0) {
x = 1; y = 0; return n;
}
long long g = extended_euclidean(m, n % m, x, y);
long long t = x - n / m * y;
x = y;
y = t;
return g;
}
其中,传过来x和y是新定义的两个变量,无初值也没有赋初值,返回的B就是Ax+By=C这个方程的一个解。
那么对于这个题来说第一只青蛙的坐标是x+m*t,第二只青蛙的坐标是y+n*t。它们相遇的充要条件是:x+m*t-y-n*t=p*L(p属于Z),即
(n-m)*t+L*p=x-y。L>0.设A=n-m,B=x-y,就转化为求A*t+L*p=B的最小t(t>0)。即求一次同余方程A*t=B%L的最小整数解。
1:用欧几里得算法求解A*t+L*p=B。即exgcd(A,&x,L,&y)则得到的值X是一个解,但不是最后的解。
2:若B%gcd(A,L)==0,则有解。
3:设M=gcd(A,L),X=X*(x-y)/M,然后(X%(L/M)+L/M)%(L/M)就是最后的解,也就是最小的t。
#include<stdio.h> long long x,y,m,n,l; //扩展欧几里得算法 long long exgcd(long long m,long long &x,long long n,long long &y) { long long x1,y1,x0,y0; x0=1;y0=0; x1=0;y1=1; long long r=(m%n+n)%n; long long q=(m-r)/n; x=0;y=1; while(r) { x=x0-q*x1; y=y0-q*y1; x0=x1; y0=y1; x1=x;y1=y; m=n;n=r;r=m%n; q=(m-r)/n; } return n; } int main() { while(scanf("%lld%lld%lld%lld%lld",&x,&y,&m,&n,&l)!=EOF) { long long ar,br; long long a=exgcd(n-m,ar,l,br);//a为二元一次线性方程的一个解,但不是最小解 //printf("%lld\n",a); if((x-y)%a||m==n) printf("Impossible\n"); else//找出方程的最小解t { long long s=l/a; ar=ar*((x-y)/a); ar=(ar%s+s)%s; printf("%lld\n",ar); } } return 0; }
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