平衡二叉树——AVL树的实现

AVL树是最先发明的自平衡二叉查找算法，是平衡二叉树的一种。在AVL中任何节点的两个儿子子树的高度最大差别为1，所以它又被成为高度平衡树。查找、插入和删除在平均和最坏情况下都是O(log n)。增加和删除可能需要通过一次或多次树旋转来平衡这棵树。

假设把AVL树构造过程中需要重新平衡的节点叫做α。由于任意节点最多有两个儿子，因此高度不平衡时，α点的两颗子树的高度差2。这种不平衡可能出现在下面这四种情况：

1）  对α的左儿子的左子树进行一次插入（左旋）

其中D是新插入的节点，红色节点K2是失去平衡的节点。需要对K1和K2进行左旋调整即将K1作为根，将K2作为K1的左子树，K1的右子树调整为K2的左子树。如下图所示


进行左旋变换   


代码如下：

static Position SingleRotateWithLeft(Position K2)
{
Position K1;

K1 = K2->Left;
K2->Left = K1->Right;
K1->Right = K2;
//更新节点的高度
return K1;
}

2）对α的左儿子的右子树进行一次插入（左右双旋）

左右双旋这里的左右指的是对α的左儿子的右子树进行插入时需要旋转。先对K1和K2进行右旋（跟第四种情况类似），然后再对K3和K2进行左旋，最终实现平衡。如下图所示


进行一次右旋

进行一次左旋


代码如下：

static Position DoubleRotateWithLeft(Position K3)
{
K3->Left = SingleRotateWithRight(K3->Left);
return SingleRotateWithLeft(K3);
}

3）对α的右儿子的左子树进行一次插入（右左双旋）

右左双旋：先对K1和K2进行左旋，然后在对K2和K3进行右旋，最终实现平衡。如下图所示


进行一次左旋

进行一次右旋


代码如下：

static Position DoubleRotateWithRight(Position K3)
{
K3->Right = SingleRotateWithLeft(K3->Right);
return SingleRotateWithRight(K3);
}

4）对α的右儿子的右子树进行一次插入（右旋）

将K2的右子树更改为K1的左子树，K1的左子树更改为K2即完成的右旋，如下图所示


进行右旋


代码如下：

static Position SingleRotateWithRight(Position K2)
{
Position K1;

K1 = K2->Right;
K2->Right = K1->Left;
K1->Left = K2;
//更新节点高度
return K1;
}

上面讲述了AVL树四种旋转情况，下面来实现一下AVL树。AVL树的实现跟上一章讲的二叉查找树相似，区别在于在插入和删除节点是需要对树进行调整以满足平衡条件。

avltree.h给出函数声明typedef int ElementType;

#ifndef AVLTREE_H
#define AVLTREE_H

struct TreeNode
{
ElementType Element;
int Height;
struct TreeNode *Left;
struct TreeNode *Right;
};

typedef struct TreeNode *AvlTree;
typedef struct TreeNode *Position;

AvlTree MakeEmpty(AvlTree T);
AvlTree Insert(ElementType X, AvlTree T);
Position Find(ElementType X ,AvlTree T);
Position FindMax(AvlTree T);
Position FindMin(AvlTree T);

#endifavltree.c函数实现

#include "fatal.h"
#include "avltree.h"

AvlTree MakeEmpty(AvlTree T)
{
if(T != NULL)
{
MakeEmpty(T->Left);
MakeEmpty(T->Right);
free(T);
}
return NULL;
}

static int Height(Position P)
{
if(P == NULL)
return -1;
else
return P->Height;
}

static int Max(int Lhs, int Rhs)
{
return Lhs > Rhs ? Lhs : Rhs;
}

static Position SingleRotateWithLeft(Position K2)
{
Position K1;

K1 = K2->Left;
K2->Left = K1->Right;
K1->Right = K2;

K1->Height = Max(Height(K1->Left), Height(K1->Right)) + 1;
K2->Height = Max(Height(K2->Left), Height(K2->Right)) + 1;

return K1;
}

static Position SingleRotateWithRight(Position K2)
{
Position K1;

K1 = K2->Right;
K2->Right = K1->Left;
K1->Left = K2;

K1->Height = Max(Height(K1->Left), Height(K1->Right)) + 1;
K2->Height = Max(Height(K2->Left), Height(K2->Right)) + 1;

return K1;
}

static Position DoubleRotateWithLeft(Position K3)
{
K3->Left = SingleRotateWithRight(K3->Left);
return SingleRotateWithLeft(K3);
}

static Position DoubleRotateWithRight(Position K3)
{
K3->Right = SingleRotateWithLeft(K3->Right);
return SingleRotateWithRight(K3);
}
AvlTree Insert(ElementType X, AvlTree T)
{
if(T == NULL)
{
T = (Position)malloc(sizeof(struct TreeNode));
if(T == NULL)
FatalError("Out of space");
T->Element = X;
T->Height = 0;
T->Left = T->Right = NULL;
}
else if(X < T->Element)//左子树插入新节点
{
T->Left = Insert(X, T->Left);
if(Height(T->Left) - Height(T->Right) == 2)//左子树插入节点所以高度是左子树高于右子树
{
if(X < T->Left->Element)//对α的左儿子的左子树进行一次插入，需要左旋
T = SingleRotateWithLeft(T);
else //对α的左儿子的右子树进行一次插入，需要双旋
T = DoubleRotateWithLeft(T);
}
}
else if(X > T->Element)//右子树插入新节点
{
T->Right = Insert(X, T->Right);
if(Height(T->Right) - Height(T->Left) == 2)//因为是右子树插入新节点，所以高度是右子树高于左子树
{
if(X > T->Right->Element)//对α的右儿子的右子树进行一次插入，需要右旋
T = SingleRotateWithRight(T);
else//对α的右儿子的左子树进行一次插入，需要双旋
T = DoubleRotateWithRight(T);
}
}
T->Height = Max(Height(T->Left), Height(T->Right)) + 1;
return T;
}

Position Find(ElementType X, AvlTree T)
{
if(T == NULL)
return NULL;
if(X < T->Element)
return Find(X, T->Left);
else if(X > T->Element)
return Find(X, T->Right);
else
return T;
}

Position FindMin(AvlTree T)
{
if(T == NULL)
return NULL;
else if(T->Left == NULL)
return T;
else
return FindMin(T->Left);
}

Position FindMax(AvlTree T)
{
if(T == NULL)
return NULL;
else if(T->Right == NULL)
return T;
else
return FindMax(T->Right);
}

testavl.c测试AVL树的实现#include "avltree.h"
#include <stdio.h>
#include <stdlib.h>

void InOrder(AvlTree T)
{
if(T != NULL)
{
InOrder(T->Left);
printf("%d ", T->Element);
InOrder(T->Right);
}
}

void PreOrder(AvlTree T)
{
if(T != NULL)
{
printf("%d ", T->Element);
PreOrder(T->Left);
PreOrder(T->Right);
}
}

int main(void)
{
AvlTree T;
Position P;
int i;

T = MakeEmpty(NULL);
for(i = 1; i <= 7; i++)
T = Insert(i, T);
for(i = 16; i >= 10; i--)
T = Insert(i, T);
T = Insert(8, T);
T = Insert(9, T);
printf("Root: %d\n", T->Element);
printf("InOrder: ");
InOrder(T);
printf("\nPreOrder: ");
PreOrder(T);
putchar('\n');
system("Pause");

return 0;
}
测试：首先插入1到7，然后插入16到10，最后插入8和9。AVL树的应该为下图所示



测试结果如下图所示