《算法导论》读书笔记(一)——插入排序与循环不变式
2013-09-02 21:00
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第一次学习《算法导论》,按照读书的顺序将一些心得记录下来
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保持:如果循环的某次迭代之前为真,那么下次迭代之前仍为真。
终止:在循环终止时,不变式为我们提供一个有用的性质,该性质有助于证明算法是正确的。
保持:当前一次迭代为真时,本次迭代,将a[j]插入到a[0]至a[i-1]中的适当位置,是a[0]至a[i]成为有序组,使下一次迭代之前仍为真。
终止:外面的for循环的终止条件是i=length即下标超过数组长度。每次循环迭代i增加1,所以此时i=length,在循环不变式中将i用length代替,有子数组a[0..length-1]由原来在a[0..length-1]中的元素组成,但已经按序排列。因为子数组a[0..length-1]就是整个数组,所以整个数组已经排序,算法正确。
所用模型:RAM,单核,顺序执行,无并发
数据类型:整型,浮点,不太关心精度
灰色区域:未列出指令,例如指数运算等。
内存层级:一般不关心,但是特定算法影响重大。大多数情况不考虑也能很好的预测性能。
数学工具:组合数学、概率论、代数技巧等
描述方法:输入规模的函数
输入规模:每种算法的输入规模的描述不尽相同,需要指定
运行时间:用“步”描述,每步所需时间是常量,用ci表示
插入排序的运行时间
对于插入排序,它的运行时间就是:代价*次数的求和
从次数中可以看到,即使是确定了输入规模,次数也可能依据输入的不同而有所变化。
对于插入排序,如果输入已经排好序,则所需时间是n的线性函数,即Tn=an+b
如果输入是完全反序的,则所需时间是n的二次函数,即Tn=an^2+bn+c
1.最坏情况给出了上界。
2.某些算法,最坏情况经常出现。
3.平均情况往往与最坏情况一样糟。
如此,记插入算法的增长量级是:Θ(n^2)
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插入排序的简单C++实现:
#include <iostream> using namespace std; void insert_Sort(int a[], int length); int main() { const int n = 10; int a = {1,3,5,7,9,0,2,4,6,8}; insert_Sort(a, n); for(int i = 0; i < n; i++) { cout << a[i] << "\t"; } cout << endl; return 0; } void insert_Sort(int a[], int length) { for(int i = 1; i < length; i++) { int temp = a[i]; int j = i - 1; while(j > -1 && a[j] > temp) { a[j + 1] = a[j]; j--; } a[j + 1] = temp; } }
循环不变式:
初始化:循环的第一次迭代之前,它为真。保持:如果循环的某次迭代之前为真,那么下次迭代之前仍为真。
终止:在循环终止时,不变式为我们提供一个有用的性质,该性质有助于证明算法是正确的。
循环不变式应用于插入排序:
初始化:当循环开始之前(i=1的时候),有序组只有一项a[0],所以,它为真。保持:当前一次迭代为真时,本次迭代,将a[j]插入到a[0]至a[i-1]中的适当位置,是a[0]至a[i]成为有序组,使下一次迭代之前仍为真。
终止:外面的for循环的终止条件是i=length即下标超过数组长度。每次循环迭代i增加1,所以此时i=length,在循环不变式中将i用length代替,有子数组a[0..length-1]由原来在a[0..length-1]中的元素组成,但已经按序排列。因为子数组a[0..length-1]就是整个数组,所以整个数组已经排序,算法正确。
分析算法
最关心的:计算时间。所用模型:RAM,单核,顺序执行,无并发
数据类型:整型,浮点,不太关心精度
灰色区域:未列出指令,例如指数运算等。
内存层级:一般不关心,但是特定算法影响重大。大多数情况不考虑也能很好的预测性能。
数学工具:组合数学、概率论、代数技巧等
描述方法:输入规模的函数
输入规模:每种算法的输入规模的描述不尽相同,需要指定
运行时间:用“步”描述,每步所需时间是常量,用ci表示
插入排序算法的分析
insert_Sort | 代价 | 次数 |
---|---|---|
for(int i = 1; i < length; i++) | c1 | n |
int temp = a[i]; | c2 | n-1 |
int j = i - 1; | c3 | n-1 |
while(j > -1 && a[j] > temp) | c4 | t2+...+tn |
a[j + 1] = a[j]; | c5 | t2-1+...tn-1 |
j--; | c6 | t2-1+...tn-1 |
a[j + 1] = temp; | c7 | n-1 |
从次数中可以看到,即使是确定了输入规模,次数也可能依据输入的不同而有所变化。
对于插入排序,如果输入已经排好序,则所需时间是n的线性函数,即Tn=an+b
如果输入是完全反序的,则所需时间是n的二次函数,即Tn=an^2+bn+c
最坏情况与平均情况分析
为什么分析最坏情况:1.最坏情况给出了上界。
2.某些算法,最坏情况经常出现。
3.平均情况往往与最坏情况一样糟。
增长量级
只考虑公式中最重要的项,保留高阶,忽略低阶,忽略项系数。如此,记插入算法的增长量级是:Θ(n^2)
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