poj 1811解题报告——关于大数的素数鉴定与质因数分解

题目来源：http://poj.org/problem?id=1811

题目描述：题意十分简单，不多说。。

题目分析：

这是一道数论的经典题！

首先介绍两个传说中的随机算法。。

Millier-Rabin
根据费马小定理，如果p是素数，则a^(p-1)≡1(mod p)对所有的a∈[1,n-1]成立。所以如果在[1,n-1]中随机取出一个a，发现不满足费马小定理，则证明n必为合数。
为了计算a^(n-1)modn，我们把n-1分解为u*2^t的形式，其中t>=1且u是奇数；亦即，n-1的二进制表示是奇数u的二进制表示后面跟上t个零。因此，a^(n-1)≡(a^u)^(2^t)(mod n),所以可以通过先计算a^u mod n,然后对结果连续平方t次来计算a^(n-1)
mod n。
其中还用到定理，如果对模n存在1的非平凡平方根，则n是合数。（如果一个数x满足方程x^2≡1 (mod n),但x不等于对模n来说1的两个‘平凡’平方根：1或-1，则x是对模n来说1的非平凡平方根）。
Pollard rho
原理：设n为待分解的大整数，用某种方法生成a和b，计算p=gcd(a-b,n),直到p不为1或a,b出现循环时为止，若p=n，则说明n是一个素数，否则p为n的一个约数。
算法步骤：选取一个小的随机数x1，迭代生成x[i] = x[i-1]^2+c，一般去c=1，若序列出现循环则退出，计算p=gcd(x[i-1]-x[i],n)，若p=1则返回上一步继续迭代，否则跳出迭代过程。若p=n，则n为素数，否则p为n的一个约数，并递归分解p和n/p。
可以在θ（sqrt(p)）的期望时间内找到n的一个小因子p。但对于因子很少，因子值很大的大整数n，该方法依然不是很有效。
到这里应该就会做了，不会的直接看代码吧。。写的注释很详细的
代码实现：

#include<stdio.h>
#include<string.h>
#include<stdlib.h>
#include<time.h>
#include<iostream>
#include<algorithm>
using namespace std;

//****************************************************************
// Miller_Rabin 算法进行素数测试
//速度快，而且可以判断 <2^63的数
//****************************************************************
const int S=20;//随机算法判定次数，S越大，判错概率越小

//计算 (a*b)%c.   a,b都是long long的数，直接相乘可能溢出的
//  a,b,c <2^63
//计算A*B的时候，也可以将B化成2^n相加的式子。
//于是，我们可以将a*b mod c转换成[a*(2^b0+2^b1+……2^bn)] mod c=[a*2^b0+a*2^b1+……a*2^bn] mod c。
//利用公式(a+b)mod c=[(a mod c)+(b mod c)]mod c这个公式进行运算。
long long mult_mod(long long a,long long b,long long c)
{
a%=c;
b%=c;
long long ret=0;
while(b)
{
if(b&1)
{
ret+=a;
ret%=c;
}
a<<=1;
if(a>=c)a%=c;
b>>=1;
}
return ret;
}

//计算  x^n %c,类似于计算a^b
long long pow_mod(long long x,long long n,long long mod)//x^n%c
{
if(n==1)return x%mod;
x%=mod;
long long tmp=x;
long long ret=1;
while(n)
{
if(n&1) ret=mult_mod(ret,tmp,mod);
tmp=mult_mod(tmp,tmp,mod);
n>>=1;
}
return ret;
}

//以a为基,n-1=x*2^t      a^(n-1)=1(mod n)  验证n是不是合数
//一定是合数返回true,不一定返回false
bool check(long long a,long long n,long long x,long long t)
{
long long ret=pow_mod(a,x,n);
long long last=ret;
for(int i=1; i<=t; i++)
{
ret=mult_mod(ret,ret,n);
if(ret==1&&last!=1&&last!=n-1) return true;//合数
last=ret;
}
if(ret!=1) return true;
return false;
}

// Miller_Rabin()算法素数判定
//是素数返回true.(可能是伪素数，但概率极小)
//合数返回false;

bool Miller_Rabin(long long n)
{
if(n<2)return false;
if(n==2)return true;
if((n&1)==0) return false;//偶数
long long x=n-1;
long long t=0;
while((x&1)==0)
{
x>>=1;
t++;
}
for(int i=0; i<S; i++)
{
long long a=rand()%(n-1)+1;//rand()需要stdlib.h头文件
if(check(a,n,x,t))
return false;//合数
}
return true;
}

//************************************************
//pollard_rho 算法进行质因数分解
//************************************************
long long factor[100];//质因数分解结果（刚返回时是无序的）
int tol;//质因数的个数。数组小标从0开始

long long gcd(long long a,long long b)
{
if(a==0)return 1;//???????
if(a<0) return gcd(-a,b);
while(b)
{
long long t=a%b;
a=b;
b=t;
}
return a;
}

long long Pollard_rho(long long x,long long c)
{
long long i=1,k=2;
long long x0=rand()%x;
long long y=x0;
while(1)
{
i++;
x0=(mult_mod(x0,x0,x)+c)%x;
long long d=gcd(y-x0,x);
if(d!=1&&d!=x) return d;
if(y==x0) return x;
if(i==k)
{
y=x0;
k+=k;
}
}
}
//对n进行素因子分解
void findfac(long long n)
{
if(Miller_Rabin(n))//素数
{
factor[tol++]=n;
return;
}
long long p=n;
while(p>=n)p=Pollard_rho(p,rand()%(n-1)+1);
findfac(p);
findfac(n/p);
}

int main()
{
//srand(time(NULL));//需要time.h头文件//POJ上G++不能加这句话
long long n;
int t;
scanf("%d",&t);

while(t--)
{
scanf("%I64d",&n);
tol=0;
if(Miller_Rabin(n))
{
printf("Prime\n");
continue;
}
findfac(n);
long long min = n;
for(int i=0; i<tol; i++)
{
if(factor[i] < min)
min = factor[i];
}
printf("%I64d\n",min);
}
return 0;
}