hdu 4044 GeoDefense （树形dp | 多叉树转二叉树）

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题意

这是一个塔防游戏，地图是一个n个编号为1～n的节点的树， 节点1是敌人的基地，其他叶子节点都是你的基地。
敌人的基地会源源不断地出来怪兽，为了防止敌人攻进你的基地，你可以选择造塔。
每个节点最多只能造一个塔，且节点i可以有ki种塔供你选择，价钱和攻击力分别为price_i, power_i
攻击力power_i，效果是让敌人经过这个节点时让敌人的血减少power_i点。

那么从敌人的基地到你的任意一个基地的路径，这条路径上的所有塔的攻击力之和，就是这个基地的抵抗力。
敌人的攻击路径是不确定的，为了保护你的所有基地，你要确定所有基地中抵抗力最低的一个。

你只有数量为m的钱，问最佳方案，可以抵挡敌人的最大血量是多少？也就是，让所有基地中抵抗力最低的一个的值尽量大，
最大是多少？

思路：

方法一： 多叉转二叉

把多叉树先转化成“左儿子，右兄弟”的表示方法。会发现形成这样一种结构图：

多叉树：



转化成“左儿子，右兄弟”的二叉树：



用二叉树来思考这道题，会更自然，也更好想

用f[i][j]表示：子树i, 用j的花费，能防守的最大HP

那么, 先计算出i和它儿子一起用j的花费能防守的最大HP,
f[i][j] = max{ f[i][j-k] + f[son][k] | 0<=k<=j}

然后和它的兄弟进行状态转移：
f[i][j] = max{ min(f[i][j-k], f[brother][k]) | 0<=k<=j}

最终f[1][m]就是答案了.

方法二：

f[u][j]：子树u, 花j的钱的消灭的最大HP
对于子树i, 可以选择分配k(0<=k<=j)的花费给它的所有儿子，留j-k给i点花
对于所有的儿子要合理的分配使用这k的花费，才可以消灭的最大HP，
用maxSon[u][k]表示所有u的所有儿子使用k的花费，可以消灭的最大HP
我们要先求出maxSon数组, 求这个数组就和分组背包一样，因为对于每个儿子，
可以选择分配1...k的花费给它，所以不难得到状态转移：

maxSon[u][j] = max{ min(maxSon[j-k], f[v][k]) | 0<=k<=j & v是u的儿子}

求出这个数组后，就可以跟新节点u的值了
f[u][j] = max{ f[u][j-k] + maxSon[k] | 0<=k<=j }

小结：

上面两种方法，因为之前没做过多叉转二叉，所以一开始我想到的是方法二的，和@ZeroClock学长想的一样。而多叉转二叉是@nothi大神的提醒下知道的，然后我发现转化成二叉树来想这题更加自然，也更不容易出错。

方法一代码：

方法二代码：