hdu4704--sum--大数幂取模
2013-08-29 19:54
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做这道题学到了好多好多知识,想起了一些被遗忘的知识,收获还是很大的。
1.费马小定理的应用。首先说明一下什么是费马小定理:假如P是质数,且gcd(a,p)=1(即a,p互质),则a^(p-1)===1(mod p)。
应用为:若P为质数,且gcd(a,p)=1,则可以计算 a^n mod p的值。(n为一个无法用long long存下的大数(若不为大数直接用快速幂其实就可以了))
因为a^(p-1)%p=1,所以a^((p-1)*k)%p也为1。所以a^n mod p=a^(n%(p-1))%p;
所以就通过这样将n转化为一个在可接受范围内的数,然后在利用快速幂求出答案。
2.学会了一个知识,即在已知a mod b=x,x已知的情况下,怎样求出 (a-1) mod b的值。值即为 (x -1+b) mod b。
( 切记此时x的范围是0~b-1!否则值为((x-1)mod b+b) mod b )
3.学会了大数取模时的处理方法,即通过按位一位一位取模(每算一位记得乘以10),因为模运算是可以拆分成 各个加法运算分别取模 然后加和再取模 的。
4.至于怎样得到答案为2^(n-1)这个结论的,参加离散数学书中关于排列组合中的挡板法。(2^(n-1)=C{n-1,0}+C{n-1,1}+......C(n-1,n-1))
以下是代码:
1.费马小定理的应用。首先说明一下什么是费马小定理:假如P是质数,且gcd(a,p)=1(即a,p互质),则a^(p-1)===1(mod p)。
应用为:若P为质数,且gcd(a,p)=1,则可以计算 a^n mod p的值。(n为一个无法用long long存下的大数(若不为大数直接用快速幂其实就可以了))
因为a^(p-1)%p=1,所以a^((p-1)*k)%p也为1。所以a^n mod p=a^(n%(p-1))%p;
所以就通过这样将n转化为一个在可接受范围内的数,然后在利用快速幂求出答案。
2.学会了一个知识,即在已知a mod b=x,x已知的情况下,怎样求出 (a-1) mod b的值。值即为 (x -1+b) mod b。
( 切记此时x的范围是0~b-1!否则值为((x-1)mod b+b) mod b )
3.学会了大数取模时的处理方法,即通过按位一位一位取模(每算一位记得乘以10),因为模运算是可以拆分成 各个加法运算分别取模 然后加和再取模 的。
4.至于怎样得到答案为2^(n-1)这个结论的,参加离散数学书中关于排列组合中的挡板法。(2^(n-1)=C{n-1,0}+C{n-1,1}+......C(n-1,n-1))
以下是代码:
#include <cstdio> #include <cstring> using namespace std; typedef long long ll; const int maxlen=1e5+10; const int M=1e9+7; char a[maxlen]; ll pow_mod(ll a,ll n) { ll ans=1; while(n) { if(n&1) ans*=a; if(ans>=M) ans%=M; a*=a; if(a>=M) a%=M; n>>=1; } return ans; } int main() { while(~scanf("%s",a)) { int len=strlen(a); ll n=0; for(int i=0;i<len;++i)//这里原来很SB的把len写成来strlen(a),结果T了好久,真是SB的可以了。。。不过也长经验了,下次不会范这么2的错误了。 n=(n*10+a[i]-'0')%(M-1);//这里的思想值得多多体会 n=(n-1+M-1)%(M-1); pow_mod(2,n); printf("%I64d\n",pow_mod(2,n)); } return 0; }
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