解线性同余方程 中国剩余定理 和 非互质的中国剩余定理
2013-08-28 01:58
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一般地,中国剩余定理是指若有一些两两互质的整数 ,则对任意的整数:,以下联立同余方程组对模 有公解:
同余方程组:
x≡b1 (mod m1)
x≡b2 (mod m2)
...
x≡bk (mod mk)
模[m1,m2,...,mk]有唯一解,即在[m1,m2,...,mk]的意义下,存在唯一的x,满足:
x≡bi mod [m1,m2,...,mk],i = 1,2,...,k
解法直接看样例:
例1:一个数被3除余1,被4除余2,被5除余4,这个数最小是几?题中3、4、5三个数两两互质。则〔4,5〕=20;〔3,5〕=15;〔3,4〕=12;〔3,4,5〕=60。为了使20被3除余1,用20×2=40;使15被4除余1,用15×3=45;使12被5除余1,用12×3=36。然后,40×1+45×2+36×4=274,因为,274>60,所以,274-60×4=34,就是所求的数。
例2:一个数被3除余2,被7除余4,被8除余5,这个数最小是几?题中3、7、8三个数两两互质。则〔7,8〕=56;〔3,8〕=24;〔3,7〕=21;〔3,7,8〕=168。为了使56被3除余1,用56×2=112;使24被7除余1,用24×5=120。使21被8除余1,用21×5=105;然后,112×2+120×4+105×5=1229,因为,1229>168,所以,1229-168×7=53,就是所求的数。
例3:一个数除以5余4,除以8余3,除以11余2,求满足条件的最小的自然数。题中5、8、11三个数两两互质。则〔8,11〕=88;〔5,11〕=55;〔5,8〕=40;〔5,8,11〕=440。为了使88被5除余1,用88×2=176;使55被8除余1,用55×7=385;使40被11除余1,用40×8=320。然后,176×4+385×3+320×2=2499,因为,2499>440,所以,2499-440×5=299,就是所求的数。
例题:
fzu 1402Problem 1402 猪的安家
Accept: 647 Submit: 4558
Time Limit: 1000 mSec Memory Limit : 32768 KB
Problem Description
Andy和Mary养了很多猪。他们想要给猪安家。但是Andy没有足够的猪圈,很多猪只能够在一个猪圈安家。举个例子,假如有16头猪,Andy建了3个猪圈,为了保证公平,剩下1头猪就没有地方安家了。Mary生气了,骂Andy没有脑子,并让他重新建立猪圈。这回Andy建造了5个猪圈,但是仍然有1头猪没有地方去,然后Andy又建造了7个猪圈,但是还有2头没有地方去。Andy都快疯了。你对这个事情感兴趣起来,你想通过Andy建造猪圈的过程,知道Andy家至少养了多少头猪。
Input
输入包含多组测试数据。每组数据第一行包含一个整数n (n <= 10)–Andy建立猪圈的次数,解下来n行,每行两个整数ai,
bi( bi <= ai <= 1000),表示Andy建立了ai个猪圈,有bi头猪没有去处。你可以假定(ai,
aj) = 1.
Output
输出包含一个正整数,即为Andy家至少养猪的数目。
Sample Input
3
3 1
5 1
7 2
Sample Output
16
典型的利用中国剩余定理求解线性方程组的题。
根据题意我们设有x只猪,则有方程组:
x=b1 mod a1
x=b2 mod a2
x=b3 mod a3
……
x=bi mod ai
题中说了ai是两两互质的,所以我们可以直接利用中国剩余定理解题。
那么题中的解为x=M1'M1b1+M2'M2b2……+Mk'MKbk(mod m) m=a1*a2*a3……ai
Mi'Mi= 1(mod mi) 即Mi'Mi+mi*y=1求逆用扩展欧几里得解出Mi'
Poj2891解线性同余方程,判有没有解
除数 余数
2
8 7
11 9
输出
31
方程组
x= a1(mod b1)
x=a2 (mod b2)
……
x=ai(mod bi)
不能利用中国剩余定理解,因为b1,b2……bi不一定两两互素
合并上升法:
我去 ,在hdu 用long long 就TLE ,用__int64 就AC.....
#include <iostream>
#include<cstdio>
#include<cstring>
using namespace std;
__int64 a[25],b[25];
void gcd(__int64 a,__int64 b,__int64& d,__int64& x,__int64& y)
{
if(!b) {d=a; x=1; y=0;}
else {gcd(b,a%b,d,y,x); y-=x*(a/b); }
}
int main()
{
__int64 i,j,ncase,t,n;
__int64 k,m,ai,r,g,x0,y0,x,y,B,lcm;
__int64 flag;
scanf("%I64d",&ncase);
while(ncase--)
{
scanf("%I64d%I64d",&n,&t);
for(i=0;i<t;i++)
scanf("%I64d",&a[i]);
for(i=0;i<t;i++)
scanf("%I64d",&b[i]);
k=a[0]; m=b[0];
flag=1;
for(i=1;i<t;i++)
{
ai=a[i]; r=b[i];
if(flag)
{
gcd(k,ai,g,x0,y0);
if((r-m)%g) {flag=0; break;}
x= x0*(r-m)/g;
B=ai/g;
x=(x%B+B)%B;
lcm=k/g*ai;
m=((k*x+m)%lcm+lcm)%lcm;
k=lcm;
}
}
__int64 ans=0;
if(flag)
{
if(n>=m)
ans=(n-m)/k+1;
if(m==0) ans--; // 注意,题目求的是 正整数!! wr几次
}
printf("%I64d\n",ans);
}
return 0;
}
同余方程组:
x≡b1 (mod m1)
x≡b2 (mod m2)
...
x≡bk (mod mk)
模[m1,m2,...,mk]有唯一解,即在[m1,m2,...,mk]的意义下,存在唯一的x,满足:
x≡bi mod [m1,m2,...,mk],i = 1,2,...,k
解法直接看样例:
例1:一个数被3除余1,被4除余2,被5除余4,这个数最小是几?题中3、4、5三个数两两互质。则〔4,5〕=20;〔3,5〕=15;〔3,4〕=12;〔3,4,5〕=60。为了使20被3除余1,用20×2=40;使15被4除余1,用15×3=45;使12被5除余1,用12×3=36。然后,40×1+45×2+36×4=274,因为,274>60,所以,274-60×4=34,就是所求的数。
例2:一个数被3除余2,被7除余4,被8除余5,这个数最小是几?题中3、7、8三个数两两互质。则〔7,8〕=56;〔3,8〕=24;〔3,7〕=21;〔3,7,8〕=168。为了使56被3除余1,用56×2=112;使24被7除余1,用24×5=120。使21被8除余1,用21×5=105;然后,112×2+120×4+105×5=1229,因为,1229>168,所以,1229-168×7=53,就是所求的数。
例3:一个数除以5余4,除以8余3,除以11余2,求满足条件的最小的自然数。题中5、8、11三个数两两互质。则〔8,11〕=88;〔5,11〕=55;〔5,8〕=40;〔5,8,11〕=440。为了使88被5除余1,用88×2=176;使55被8除余1,用55×7=385;使40被11除余1,用40×8=320。然后,176×4+385×3+320×2=2499,因为,2499>440,所以,2499-440×5=299,就是所求的数。
例题:
fzu 1402Problem 1402 猪的安家
Accept: 647 Submit: 4558
Time Limit: 1000 mSec Memory Limit : 32768 KB
Problem Description
Andy和Mary养了很多猪。他们想要给猪安家。但是Andy没有足够的猪圈,很多猪只能够在一个猪圈安家。举个例子,假如有16头猪,Andy建了3个猪圈,为了保证公平,剩下1头猪就没有地方安家了。Mary生气了,骂Andy没有脑子,并让他重新建立猪圈。这回Andy建造了5个猪圈,但是仍然有1头猪没有地方去,然后Andy又建造了7个猪圈,但是还有2头没有地方去。Andy都快疯了。你对这个事情感兴趣起来,你想通过Andy建造猪圈的过程,知道Andy家至少养了多少头猪。
Input
输入包含多组测试数据。每组数据第一行包含一个整数n (n <= 10)–Andy建立猪圈的次数,解下来n行,每行两个整数ai,
bi( bi <= ai <= 1000),表示Andy建立了ai个猪圈,有bi头猪没有去处。你可以假定(ai,
aj) = 1.
Output
输出包含一个正整数,即为Andy家至少养猪的数目。
Sample Input
3
3 1
5 1
7 2
Sample Output
16
典型的利用中国剩余定理求解线性方程组的题。
根据题意我们设有x只猪,则有方程组:
x=b1 mod a1
x=b2 mod a2
x=b3 mod a3
……
x=bi mod ai
题中说了ai是两两互质的,所以我们可以直接利用中国剩余定理解题。
那么题中的解为x=M1'M1b1+M2'M2b2……+Mk'MKbk(mod m) m=a1*a2*a3……ai
Mi'Mi= 1(mod mi) 即Mi'Mi+mi*y=1求逆用扩展欧几里得解出Mi'
#include <iostream> #include <cstdio> #include <cstring> using namespace std; typedef __int64 int64; int64 a[15],b[15]; int64 Extend_Euclid(int64 a, int64 b, int64&x, int64& y) { if(b==0) { x=1,y=0; return a; } int64 d = Extend_Euclid(b,a%b,x,y); int64 t = x; x = y; y = t - a/b*y; return d; } //求解模线性方程组x=ai(mod ni) int64 China_Reminder(int len, int64* a, int64* n) { int i; int64 N = 1; int64 result = 0; for(i = 0; i < len; i++) N = N*n[i]; for(i = 0; i < len; i++) { int64 m = N/n[i]; int64 x,y; Extend_Euclid(m,n[i],x,y); x = (x%n[i]+n[i])%n[i]; result = (result + m*a[i]*x%N)%N; } return result; } int main() { int n; while(scanf("%d",&n)!=EOF) { for(int i = 0; i < n; i++) scanf("%I64d %I64d",&a[i],&b[i]); printf("%I64d\n",China_Reminder(n,b,a)); } return 0; }
Poj2891解线性同余方程,判有没有解
除数 余数
2
8 7
11 9
输出
31
方程组
x= a1(mod b1)
x=a2 (mod b2)
……
x=ai(mod bi)
不能利用中国剩余定理解,因为b1,b2……bi不一定两两互素
合并上升法:
#include<iostream> #include<cstdio> #include<cstring> using namespace std; void gcd(long long a,long long b,long long& d,long long& x,long long& y) { if(!b) {d=a; x=1; y=0;} else {gcd(b,a%b,d,y,x); y-=x*(a/b); } } //方程 ax+by=c 的整数解 int main() { int i,j,n,flag; long long k,m,a,r,lcm,g,x,y,A; while(~scanf("%d",&n)) { flag=1; scanf("%lld%lld",&k,&m); while(--n) { scanf("%lld%lld",&a,&r); if(flag) { gcd(k,a,g,x,y); if((r-m)%g) {flag=0; continue;} x= (r-m)/g*x; A=a/g; if(A<0) A=-A; x= (x%A+A)%A; // 最小正整数解 x lcm=k*a/g; m= ((k*x+m)%lcm+lcm)%lcm; k=lcm; } // printf("**%lld %lld\n",k,m); } /*kx+m=M ax+r=M 联立得: kx-ax=r-m 更新k为LCM(k,a)------>side=k/d*a;d为gcd(k,a); 每次得到当前的通项公式 M=k*x+m; m为求得的M*/ if(!flag) printf("-1\n"); else printf("%lld\n",m); } return 0; }
最新消息:5场网络选拔赛的时间初定,详见杭电ACM新浪微博 |
X问题Time Limit: 1000/1000 MS (Java/Others) Memory Limit: 32768/32768 K (Java/Others)Total Submission(s): 2567 Accepted Submission(s): 806 Problem Description 求在小于等于N的正整数中有多少个X满足:X mod a[0] = b[0], X mod a[1] = b[1], X mod a[2] = b[2], …, X mod a[i] = b[i], … (0 < a[i] <= 10)。 Input 输入数据的第一行为一个正整数T,表示有T组测试数据。每组测试数据的第一行为两个正整数N,M (0 < N <= 1000,000,000 , 0 < M <= 10),表示X小于等于N,数组a和b中各有M个元素。接下来两行,每行各有M个正整数,分别为a和b中的元素。 Output 对应每一组输入,在独立一行中输出一个正整数,表示满足条件的X的个数。 Sample Input 3 10 3 1 2 3 0 1 2 100 7 3 4 5 6 7 8 9 1 2 3 4 5 6 7 10000 10 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 Sample Output 1 0 3 |
#include <iostream>
#include<cstdio>
#include<cstring>
using namespace std;
__int64 a[25],b[25];
void gcd(__int64 a,__int64 b,__int64& d,__int64& x,__int64& y)
{
if(!b) {d=a; x=1; y=0;}
else {gcd(b,a%b,d,y,x); y-=x*(a/b); }
}
int main()
{
__int64 i,j,ncase,t,n;
__int64 k,m,ai,r,g,x0,y0,x,y,B,lcm;
__int64 flag;
scanf("%I64d",&ncase);
while(ncase--)
{
scanf("%I64d%I64d",&n,&t);
for(i=0;i<t;i++)
scanf("%I64d",&a[i]);
for(i=0;i<t;i++)
scanf("%I64d",&b[i]);
k=a[0]; m=b[0];
flag=1;
for(i=1;i<t;i++)
{
ai=a[i]; r=b[i];
if(flag)
{
gcd(k,ai,g,x0,y0);
if((r-m)%g) {flag=0; break;}
x= x0*(r-m)/g;
B=ai/g;
x=(x%B+B)%B;
lcm=k/g*ai;
m=((k*x+m)%lcm+lcm)%lcm;
k=lcm;
}
}
__int64 ans=0;
if(flag)
{
if(n>=m)
ans=(n-m)/k+1;
if(m==0) ans--; // 注意,题目求的是 正整数!! wr几次
}
printf("%I64d\n",ans);
}
return 0;
}
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