动态规划之斐波那契数列

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如果一个递归算法需要对相同的子问题进行多次重复计算，那么我们通常可以采用动态规划对其进行优化。

动态规划的具体实现可以分为两类：一类是自顶向下的备忘录方法，这种方法只需要对原始的递归算法进行少量的改动，增加一个子问题解的记录，每当需要用到一个子问题的解时，首先查看这个记录，如果记录中存在需要的解，则可直接得到，如果不存在，则递归求解，并将结果记录下来。另一类是自底向上的迭代方法，这种方法从最基本的子问题开始求解，并将结果记录下来，然后利用已经求得的解继续对高一级的子问题求解，这样循环计算下去，直到解决了最终的问题为止。

斐波那契数列是一个体现动态规划方法的简单问题，下面分别给出原始递归算法、备忘录方法和迭代方法的源码。

原始递归算法，该算法需要大量重复计算相同子问题：

int fab(int n)
{
if(n == 0 || n == 1){
return 1;
}
else{
return fab(n - 1) + fab(n - 2);
}
}

动态规划的备忘录方法：

#define SIZE 50

int fab(int n, int m[])
{
if(m
){
return m
;
}
else{
m
= fab(n - 1, m) + fab(n - 2, m);
return m
;
}
}

int memFab(int n)
{
int m[SIZE];
int i;
m[0] = 1;
m[1] = 1;
for(i = 2; i < SIZE; ++i){
m[i] = 0;
}
return fab(n, m);
}

动态规划的迭代方法：

int fab(int n)
{
int f1, f2, f3, i;
if(n == 0 || n == 1){
return 1;
}
else{
f1 = 1;
f2 = 1;
for(i = 1; i < n; ++i){
f3 = f1 + f2;
f1 = f2;
f2 = f3;
}
return f3;
}
}