线性代数导论5——转置-置换-向量空间R

本文是Gilbert Strang的线性代数导论课程笔记。课程地址：http://v.163.com/special/opencourse/daishu.html
第五课时：转置-置换-向量空间R
本课时讲解转置和置换，然后讲解线性代数的核心概念：向量空间。核心思想是，通过某些向量构成一个向量组成的空间。这些向量属于R^n，构成的子空间也在R^n中。

一、置换矩阵Permutation
置换矩阵：可进行交换的矩阵，是行重新排列了的单位矩阵。
注意点：
1）单位矩阵是最基本的置换矩阵。
2）n揭一共有n!个置换矩阵。
3）所有置换矩阵都可逆，而且逆与其转置相等。一个置换矩阵乘以其转置等于单位矩阵。
在进行矩阵分解时A=LU，我们假设了没有行互换，现在我们取消这个假设，Matlab会检查每个主元位置上是否为0，甚至对很小的接近于0的数也进行行交换（因为这些数值运算上很难处理，会影响数值的准确性）。如何处理A=LU中的行互换？对任意可逆矩阵，都有以下形式：





二、转置Transpose、对称矩阵Symmetric matrices
矩阵转置中，对称矩阵的转置还是矩阵本身。



所有的R矩阵转置乘以R矩阵都是对称矩阵，为什么？如下图，显然，R转置两次还是R



三、向量空间Vector spaces，子空间sub spaces
重点理解向量空间概念，子空间概念

向量空间：表示有很多向量，一整个空间的向量。但并不是任意向量的组合都能成为空间。必须满足一定规则，必须能够进行加法和数乘运算，必须能够进行线性组合，对加法和数乘运算封闭。
把R2称为一个平面，XY平面。可以将其考虑成所有向量的组合。
R3是所有三维实向量组成的向量空间。
R^n包含所有的n维向量，是n维向量空间。

向量空间性质（或者说需要满足的规则）：对加法和数乘运算封闭，或者说对线性组合封闭，即所有的空间内的向量线性组合后仍在空间内。
检验是否是空间（向量空间或者子空间）的方法就是看是否对那些运算封闭。

子空间：满足空间规则，但又不需包含所有向量。取某向量空间的部分空间（显然得到的就不是向量空间了），这部分中的向量不管是加法还是数乘，结果依然在此部分空间内，这就是子空间。
R2的子空间：1）穿过原点的直线；2）原点；（特别注意，这不是零空间，只能说零向量是R2的子空间）3）R2
R3的子空间：1）穿过原点的直线；2）穿过原点的平面；3）原点；（特别注意，这不是零空间）4）R3

矩阵的子空间的构造：
通过列向量构造，R3中，矩阵A（举例只有2列）这些列的所有线性组合构成一个子空间（得到一个平面，列共线的话就是一条直线），它也叫做列空间C(A)，C表示column意思。