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如何用穷举法求解截断切割问题？

2013-08-20 14:48 351 查看

这一问题选自1997年全国大学生数学建模竞赛 B题。问题简单叙述如下：

某些工业部门（如贵重石材加工等）采用截断切割的加工方式从一个长方体中加工出一个已知尺寸、位置预定的长方体（这两个长方体的对应表面是平行的），通常要经过六次截断切割. 已知待加工长方体和成品长方体的长、宽、高分别为10、14.5、19和3、2、4, 二者左侧面、正面、底面之间的距离分别为6、7、9 (单位均为厘米)。若切割费用为每平方厘米1元。试为这些部门设计一种安排各面加工次序的方案，使加工费用最少。

首先考虑各种不同切割方式的数学描述. 将左、右、前、后、上、下相应的切割面编号为 1、2、3、4、5、6。于是，一个切割方式就是各加工面 { 1, 2, 3, 4, 5, 6 }的一个全排列，记为：。将所有不同的切割方式组成的集合记为

现在考虑使用任一种切割方式的费用的描述。由于这种切割方式在操作过程中总共要进行六次切割，记六次切割的面积依次为

, , , , ,

则，六次切割的总费用为

由此可知，截断切割问题实际上是在可行域上求目标函数的最小值。由于这一问题规模不是很大，可以用穷举法求解。

设计算法如下

第一步：列出所有可能的切割方案，即720个操作数(720×6阶的矩阵)；

第二步：计算每一种切割方案的总费用( 720 个费用数据)；

第三步：从720个费用数据中选出最小值；

第四步：列出费用最少的全部操作方案，结束。

在这一算法中，比较困难的是第二步的算法实现. 有关细节考虑如下：

1. 待加工长方体的长、宽、高为10、14.5、19用向量记为

2. 成品长方体的长、宽、高为3、2、4，它距待加工长方体左侧面、正面、底面之间的距离分别为6、7、9。由此我们可以计算出切割左，右，前，后，上，下各面的切割厚度

数据，用向量记为

3. 有六个数据，在切割过程中，将待加工的长方体切割为成品长方体要经历六种状态，每一状态均为从前一状态长方体的长、宽、高数据中的某一个减去对应的切割厚度数据而形成的新长方体。被减数只有三个而减数有六个，其.对应关系列表为

表4-7

	对应	对应	对应
被减数指标	1	2	3
减数指标	1，2	3，4	5，6

例如当切割左面或切割右面时，都应该从长、宽、高数据中的第一个数减去切割厚度数据。

4. 切割面积的计算。每一次切割面的面积实际上是本次切割状态中半成品长、宽、高数据中不改变的两个数据的乘积。

程序如下

l1=[1 2 3 4 5 6];k=0; %设置

for j1=1:6,v1=l1(j1);l2=l1;l2(j1)=[]; %从中选取v1并设置

for j2=1:5,v2=l2(j2);l3=l2;l3(j2)=[]; %从中选取v2并设置

for j3=1:4,v3=l3(j3);l4=l3;l4(j3)=[]; %从中选取v3并设置

for j4=1:3,v4=l4(j4);l5=l4;l5(j4)=[]; %从中选取v4并设置

for j5=1:2,v5=l5(j5);v6=l5(3-j5); %从中选取v5与v6

k=k+1;p(k,:)=[v1 v2 v3 v4 v5 v6]; %将[v1 v2 v3 v4 v5 v6]赋于P

end,end,end,end,end

clear l1 l2 l3 l4 l5 j1 j2 j3 j4 j5 v1 v2 v3 v4 v5 v6

l0=[10 14.5 19];h=[6 1 7 5.5 6 9];u=[1 1 2 2 3 3];

for k=1:720

v=p(k,:);l=l0;s=0; %提取P的第k行数据

for j=1:6

i=v(j);l(u(i))=l(u(i))-h(i); %模拟截割第i面并减去相应的厚度

ll=l;ll(u(i))=[];s=s+ll(1)*ll(2); %累加计算本次截割面的费用

end

q(k)=s; %将六次截割的总面积赋值给Q

end

clear h j i k l l0 ll s u v

an=min(q);find(q==an);p(ans,:), %寻求Q中的最小者

an

运行程序后，操作数有两组

6 3 1 5 4 2

6 3 5 1 4 2

切割费用为： 374，达到最小值。对应的切割方案如下

表4-8

费用最少的切割方案	所需切割费用
底面，前面，左面，上面，后面，右面底面，前面，上面，左面，后面，右面	374 374

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