leetcode -- Sqrt(x)

Implement

int sqrt(int x)

.

Compute and return the square root of x.

[解题思路]

使用二分法来求解开方，在一个区间中，每次拿中间数的平方来试验，如果小了，再拿右区间的中间数来试。

比如求解sqrt(16), (0+16) / 2 = 8, 8*8 = 64 > 16, 选择左区间(0+7)/2 = 3, 3*3 = 9 < 16, 继续选择右区间(4 + 7)/2 = 5, 5*5 = 25 > 16

继续选择左区间(4+4)/2 = 4, 4*4=16

这里为了防止x输入过大时，mid*mid会溢出，把mid*mid与x的比较换成mid与x/mid之间的比较

public int sqrt(int x) {
// Start typing your Java solution below
// DO NOT write main() function
int start = 0, end = x;
while(start <= end){
int mid = start + (end - start) / 2;
if(mid == 0){
if(x == 0){
return x;
} else {
start = mid + 1;
continue;
}
}
if(mid < x / mid){
start = mid + 1;
} else if(mid > x / mid){
end = mid - 1;
} else {
return mid;
}
}
return (start + end) / 2;
}

2013-10-29 refactor code:

public int sqrt(int x) {
// IMPORTANT: Please reset any member data you declared, as
// the same Solution instance will be reused for each test case.
if(x == 0 || x == 1){
return x;
}
int start = 0, end = x;
while(start <= end){
int mid = start + (end - start)/2;
if(mid == x / mid){
return mid;
} else if(mid < x / mid){
start = mid + 1;
} else {
end = mid - 1;
}
}

return (start + end) / 2;
}

2.牛顿迭代法



为了方便理解，就先以本题为例：

计算x2 = n的解，令f(x)=x2-n，相当于求解f(x)=0的解，如左图所示。

首先取x0，如果x0不是解，做一个经过(x0,f(x0))这个点的切线，与x轴的交点为x1。

同样的道理，如果x1不是解，做一个经过(x1,f(x1))这个点的切线，与x轴的交点为x2。

以此类推。

以这样的方式得到的xi会无限趋近于f(x)=0的解。

判断xi是否是f(x)=0的解有两种方法：

一是直接计算f(xi)的值判断是否为0，二是判断前后两个解xi和xi-1是否无限接近。

经过(xi, f(xi))这个点的切线方程为f(x) = f(xi) + f’(xi)(x - xi)，其中f'(x)为f(x)的导数，本题中为2x。令切线方程等于0，即可求出xi+1=xi - f(xi) / f'(xi)。

继续化简，xi+1=xi - (xi2 - n) / (2xi) = xi - xi / 2 + n / (2xi) = xi / 2 + n / 2xi = (xi + n/xi) / 2。

public int sqrt(int x) {
// Start typing your Java solution below
// DO NOT write main() function

if(x <= 0){
return x;
}
double last = 0;
double cur = x;
while(Math.abs(cur - last) > 0.0001){
last = cur;
cur = (cur + x / cur) / 2;
}
return (int)cur;
}