集合划分问题

描述

n个元素的集合{1,2,, n }可以划分为若干个非空子集。例如，当n=4 时，集合{1，2，

3，4}可以划分为15 个不同的非空子集如下：

{{1}，{2}，{3}，{4}}，

{{1，2}，{3}，{4}}，

{{1，3}，{2}，{4}}，

{{1，4}，{2}，{3}}，

{{2，3}，{1}，{4}}，

{{2，4}，{1}，{3}}，

{{3，4}，{1}，{2}}，

{{1，2}，{3，4}}，

{{1，3}，{2，4}}，

{{1，4}，{2，3}}，

{{1，2，3}，{4}}，

{{1，2，4}，{3}}，

{{1，3，4}，{2}}，

{{2，3，4}，{1}}，

{{1，2，3，4}}

编程任务：

给定正整数n，计算出n 个元素的集合{1,2,, n }可以划分为多少个不同的非空子集。

输入

输入数据的第1 行是元素个数n。

输出

程序运行结束时，将计算出的不同的非空子集数输出.

样例输入

5

样例输出

52

#include<iostream>
#include<string>
using namespace std;
__int64 fun(int n,int m)
{
if(m==1||n==m)return 1;
else
return fun(n-1,m-1)+fun(n-1,m)*m;
}
int main()
{
int n;
while(cin>>n&&n>=1)
{
__int64 sum=0;
for(int i=1;i<=n;i++)
sum+=fun(n,i);
cout<<sum<<endl;
}
return 0;
}

 

解题思路：

 

设n个元素的集合可以划分为F(n,m)个不同的由m个非空子集组成的集合。

考虑3个元素的集合，可划分为

① 1个子集的集合：{{1，2，3}}

② 2个子集的集合：{{1，2}，{3}}，{{1，3}，{2}}，{{2，3}，{1}}

③ 3个子集的集合：{{1}，{2}，{3}}

∴F(3,1)=1;F(3,2)=3;F(3,3)=1;

如果要求F(4,2)该怎么办呢？

A.往①里添一个元素{4}，得到{{1，2，3}，{4}}

B.往②里的任意一个子集添一个4，得到

{{1，2，4}，{3}}，{{1，2}，{3，4}}，

{{1，3，4}，{2}}，{{1，3}，{2，4}}，

{{2，3，4}，{1}}，{{2，3}，{1，4}}

∴F(4,2)=F(3,1)+2*F(3,2)＝1+2*3＝7

推广，得F(n,m)=F(n-1,m-1)+m*F(n-1,m)