状态压缩动态规划

动态规划的状态有时候比较难，不容易表示出来，需要用一些编码技术，把状态压缩的用简单的方式表示出来。典型方式：当需要表示一个集合有哪些元素时，往往利用2进制用一个整数表示。
*：一般有个数据 n<16 或者 n<32 这个很可能就是状态DP的标志，因为我们要用一个int的二进制来表示这些状态。要注意好这些数据规模的提示作用。
*：确定了为状态DP，那么第一步就是预处理，求出每行所有可能的状态了，cnt记录总的状态数，stk[]记录所有的可能状态。以炮兵阵地为例：
int cnt, stk[MAX];

void findStk(int n){ // 求出所有可能的状态。
for(int i = 0; i < (1<<n); i ++)

if(ok(i)){ // 判断这种状态可不可行。

stk[cnt] = i;

sum[cnt ++] = getSum(i); // 计算这种状态包含了几个炮兵。

}

}

bool ok(int x){ // 判断状态x是否符合，即是否会出现两个大炮间隔小于2。

if(x & (x<<1)) return false;

if(x & (x<<2)) return false;

return true;

}

int getSum(int x){ // 求出状态x中安装了多少门大炮，x的二进制有几个1。

int num = 0;

while(x > 0){

if(x & 1) num ++;

x >>= 1;

}

return num;

}
*：然后就是DP部分了，明确好状态转移方程。先特殊处理第1行，然后按状态转移方程求出剩下的值。

经典问题：TSP
一个n个点的带权的有向图，求一条路径，使得这条路经过每个点恰好一次，并且路径上边的权值和最小（或者最大）。或者求一条具有这样性质的回路，这是经典的TSP问题。

n <= 16 (重要条件,状态压缩的标志)

如何表示一个点集：
由于只有16个点，所以我们用一个整数表示一个点集：

例如：

5 ＝ 0000000000000101；（2进制表示）

它的第0位和第2位是1，就表示这个点集里有2个点，分别是点0和点2。

31 ＝ 0000000000011111； （2进制表示）

表示这个点集里有5个点，分别是0，1，2，4，5；

所以一个整数i就表示了一个点集；整数i可以表示一个点集，也可以表示是第i个点。

状态表示：
dp[i][j]表示经过点集i中的点恰好一次，不经过其它的点，并且以j点为终点的路径,权值和的最小值，如果这个状态不存在，就是无穷大。

状态转移：

单点集：状态存在dp[i][j] = 0；否则无穷大。非单点集：

1：状态存在 dp[i][j] = min(dp[k][s] + w[s][j])

k表示i集合中去掉了j点的集合，s遍历集合k中的点并且dp[k][s]状态存在，点s到点j有边存在，w[s][j]表示边的权值。

2.：状态不存在 dp[i][j]为无穷大。
最后的结果是： min( dp[( 1<<n ) – 1][j] ) ( 0 <= j < n )；

技巧：利用2进制，使得一个整数表示一个点集，这样集合的操作可以用位运算来实现。例如从集合i中去掉点j：

k = i & (~( 1<<j)) 或者 k = i - (1<<j)