威佐夫博弈

威佐夫博奕（Wythoff Game）：有两堆各若干个物品，两个人轮流从某一堆或同
时从两堆中取同样多的物品，规定每次至少取一个，多者不限，最后取光者得胜。

这种情况下是颇为复杂的。我们用（ak，bk）（ak ≤ bk ,k=0，1，2，…,n)表示两堆物品的数量并称其为局势，如果甲面对（0，0），那么甲已经输了，这种局势我们称为奇异局势。前几个奇异局势是：（0，0）、（1，2）、（3，5）、（4，7）、（6，10）、（8，13）、（9，15）、（11，18）、（12，20）。

可以看出,a0=b0=0,ak是未在前面出现过的最小自然数,而 bk= ak + k，奇异局势有
如下三条性质：

1。任何自然数都包含在一个且仅有一个奇异局势中。
由于ak是未在前面出现过的最小自然数，所以有ak > ak-1 ，而 bk= ak + k > ak-1 + k-1 = bk-1 > ak-1 。所以性质1。成立。
2。任意操作都可将奇异局势变为非奇异局势。
事实上，若只改变奇异局势（ak，bk）的某一个分量，那么另一个分量不可能在其他奇异局势中，所以必然是非奇异局势。如果使（ak，bk）的两个分量同时减少，则由于其差不变，且不可能是其他奇异局势的差，因此也是非奇异局势。
3。采用适当的方法，可以将非奇异局势变为奇异局势。

　　

假设面对的局势是(a,b)

如果b = a,则同时从两堆中取走a 个物体就变为了奇异局势(0,0)

如果a = ak,

　　1.1 b > bk, 那么,取走b - bk个物体即变成奇异局势(ak, bk)

　　1.2 b < bk 则同时从两堆中拿走ak -a[b -ak]个物体变为奇异局势(a[b-ak] , a[b-ak]+ b - ak)

　2 . 如果a = bk ,

　　2.1 b > ak ,则从第二堆中拿走多余的数量b-ak

　　2.2 b < ak ,则若b = aj (j < k) 从第一堆中拿走多余的数量a-bj; (a > bj)

　　若b = bj (j < k) 从第一堆中拿走多余的数量a-aj; ( a > aj)

　那么任给一个局势（a，b），怎样判断它是不是奇异局势呢？我们有如下公式：

　　ak =[k（1+√5）/2]，bk= ak + k （k=0，1，2，…,n 方括号表示取整函数)

　　奇妙的是其中出现了黄金分割数（1+√5）/2 = 1。618…,因此,由ak，bk组成的矩形近似为黄金矩形，

　　由于2/（1+√5）=（√5-1）/2，可以先求出j=[a*(√5-1)/2]，aj=[j*(1+√5)/2]，如果a == aj且b == aj + j，则说明是奇异局势；

　　否则令j++，并计算新的aj值，若此时a == aj且b == aj+ j ，若任然不满足，那么就不是奇异局势。

　　然后再按照上述法则进行，一定会遇到奇异局势。