uva 11762 数学期望+记忆化搜索

题目大意：给一个正整数N，每次可以在不超过N的素数中随机选择一个P，如果P是N的约数，则把N变成N/p,否则N不变，问平均情况下需要多少次随机选择，才能把N变成1？

分析：根据数学期望的线性和全期望公式可以为每个状态列出一个方程，例如： f(x)=1+f(6)*1/3+f(3)*1/3+f(2)*1/3

等式右边的最前面的“1”是指第一次转移，而后面的几项是后续的转移，用全期望公式展开，一般地，设不超过x的素数有p个，其中有g个是x的因子，则

f(x)=1+f(x)*(1-g/p)+Σf(x/y)/p

边界f(1)=0。移项后整理得

f(x)=(Σf(x/y)+p)/g

因为x/y<x，可以用记忆化搜索的方式计算f(x)。

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cstring>
using namespace std;

const int Max=1000005;
int prime[100000],Num;
bool flag[Max],vis[Max];
double f[Max];

void Init()
{
int i,j;
Num=0;
for(i=2;i<Max;i++)
{
if(flag[i]) prime[Num++]=i;
for(j=0;j<Num && i*prime[j]<Max;j++)
{
flag[i*prime[j]]=false;
if(i%prime[j]==0) break;
}
}
}

double dp(int x)
{
if(x==1) return 0.0;
if(vis[x]) return f[x];
vis[x]=true;
double sum=0;
int p=0,g=0;
for(int i=0;i<Num && prime[i]<=x;i++)
{
p++;
if(x%prime[i]==0)
{
g++;
sum+=dp(x/prime[i]);
}
}
sum=(sum+p)/g;
return f[x]=sum;
}

int main()
{
memset(flag,true,sizeof(flag));
memset(vis,false,sizeof(vis));
memset(f,0.0,sizeof(f));
Init();
int t,i,n;
scanf("%d",&t);
for(i=1;i<=t;i++)
{
scanf("%d",&n);
printf("Case %d: %.10lf\n",i,dp(n));
}
return 0;
}