【DP_概率DP专辑】【10、4最新更新】

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分类： 全部博客 ACM_阶段性总结 ACM_动态规划(DP)2012-09-23
00:05 759人阅读 评论(1) 收藏 举报

进入大学之后发现自己对概率问题很不感冒，其实一直都是这样，高中就没好好读数学。概率不好的结果就是对概率类dp掌握得just so so，因为对这类dp的状态和转移不敏感，要么是yy,要么是花很长时间想状态想转移。

现在痛下决心，好好虐待自己一段时间，做下概率dp。

Codeforces 148D Bag of mice

状态转移方程比较难想，开虚拟比赛的时候花了50分钟硬是没AC.设win[i][j]表示公主赢的概率，lost[i][j]表示龙输的概率，然后根据题意进行转移。状态转移方程如下:

win[i][j] = i * 1.0 / (i + j); //i只白老鼠j只黑老鼠时公主选白老鼠

win[i][j] += lost[i][j-1] * j * 1.0 / (i + j); //i只白老鼠j只黑老鼠时公主选黑老鼠，但公主选完黑老鼠后龙还是输了

lost[i][j] = j * 1.0 / (i + j) * win[i-1][j-1] * (i * 1.0 / (i + j - 1)); //i只白老鼠j只黑老鼠时龙选黑老鼠，选完后跳出去只白老鼠

lost[i][j] += j * 1.0 / (i + j) * win[i][j-2] * ((j - 1) * 1.0 / (i + j - 1)); //i只白老鼠j只黑老鼠时龙选黑老鼠，选完后跳出去只黑老鼠

Sgu 495 Kids and Prizes

比较简单的概率DP。m个人选n个礼物，问选中的期望。因为每个人选择礼物是独立，那么猜想求解过程n只是用来求概率。设dp[i]表示第i个人选中礼物的概率，np[i]表示第i个人不选中礼物的概率。那么dp[i] = dp[i-1] * np[i-1] + dp[i-1] * (dp[i-1]-1.0/n)，表示：如果上一个人没选中，那么本次选中的概率和上次选中的概率一样是dp[i-1],如果上次已经选中，那么本次选中的概率是dp[i-1]-1.0/n。而np[i]
= 1- dp[i];这种方法复杂度是O(m)，其实O(1)就可以了。从反方向求不被选中的期望，那么答案就是n-n*((n-1)/n)^m，每个礼物不被m个人选中的概率是((n-1)/n)^m，因为每个礼物都一样，所以直接乘n就Ok。

Zoj 3383 Patchouli's Spell Cards

概率DP，选m个位置填充，每个填充的数的范围是1..n，问至少有l个数相同的概率。从反面来考虑，求不出现l个相同数的概率p，1-p既是答案。模型转换后就可以进行DP了，设dp[i][j]表示选到第i个数填充了j个位置的方案数，那么dp[i][j] = dp[i-1][j-k] + C[m-(j-k)][k](k < l && k <＝j),,然后求出所有方案书total，ans = （total - dp
[m])
/ total.这种方法复杂度是O(n*m*l)，其实有种复杂度为O(min(n,m)*min(n,m)*l)，dp[i][j]表示选了i个数填充j个位置的方案数，这里的i不必是1...i，只要是i个不同的数即可，这样和n就没多大关系，转移方程类似。数很大要用大数。

Zoj 3460 Help Me Escape

浙大月赛的题目，比赛的时候想到了做法，但是被一题字符串卡住，没来得及敲。题目的大概意思是一只吸血鬼每次随机的选择n个洞中的任意一个，如果该吸血鬼的攻击值大于该洞ci那么直接可以花费Ti的时间就可以出去，不然要奋斗一天该吸血鬼攻击值增加ci再 随机选择n个洞.口设dp[i]表示攻击力为i时逃跑的期望，那么状态转移方程就为dp[i] = sum(wi) / n，当ci < i时，wi = （1+sqrt（5））/ 2 * ci
* ci，当ci >=i时wi = 1 + dp[i+ci]。可以逆序进行状态转移也可以用记忆化搜索，记忆化搜索更容易理解。

Hdu 4405 Aeroplane chess

从位置0开始，每步随机走1,2,3,4,5,6个位置，问走到大等于n位置的期望步数，还有一些位置带有限制，某些xi对应着yi，表示到xi就必须马上走到yi，不算一步。和上题很像，更简单些,

简单点好想点的做法是设dp[i]表示到i时的期望,p[i]表示到i时的概率，那么dp[i] += (dp[j] + p[j]) * 1 / 6.0,p[i] += p[j] * 1 / 6.0,（从j走到i) 当next[i] != i时dp[i] = dp[j],p[i] = p[j];最后的答案是dp
;这个公式是这样推导来的，假设dp[j] = day * p,那么dp[i] = (day + 1)
*ｐ* 1 / 6.0，即dp[i] = (dp[j] + p[j]) * 1 / 6.0.

化解后，dp[i]表示到达i位置的期望天数.dp[i] = dp[j] (next[i] == i), dp[i] += (dp[j] + 1) * 1 / 6.0。

Hdu 4336 Card Collector

状态压缩DP解之，dp[i]表示i这个状态到最终状态需要的期望卡片数,dp[i] =dp[i] * myself + sum( dp[j] * p[k] = sum( dp[j] * p[k]) / (1-myself)（i|k=j且i!=j,myself表示保持原状的概率).

这道题其实是我YY用容斥原理过的，看测试数据很像可以2^n枚举，然后把把枚举到的卡片概率加起来算期望，奇数加偶数减，然后就过了。想不清楚为什么可以用容斥原理，然后就找了个挺靠谱的解释自我安慰，E1表示买买到1的期望,E1 = 1/p1，也就是说E1包里面肯定包含1这张卡片，当我们计算E1和E2时，是不是会有一种情况：我们想要卡片1的时候已经买到了卡片2，然后我们又要计算买卡片2的期望，正是因为这样的交集使得我们可以用容斥，交集的期望E12 = 1 / (p1 +p2) 表示肯定买到1、2中的其中一包，E123就表示肯定买到1、2、3中的某一种,我们在计算E12,E13,E23的时候E123多减了一次，要加回来，以此类推....

148D代码

[cpp] view
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#include <stdio.h>

#include <string.h>

#define MAX 1100

double ans;

double win[MAX][MAX],lost[MAX][MAX];

int main()

{

int i,j,n,m;

while (scanf("%d%d",&n,&m) != EOF) {

ans = 0;

memset(win,0,sizeof(win));

memset(lost,0,sizeof(lost));

for (i = 1; i <= n; ++i)

win[i][0] = 1.0;

for (i = 1; i <= n; ++i)

for (j = 1; j <= m; ++j) {

win[i][j] = i * 1.0 / (i + j) + lost[i][j-1] * j * 1.0 / (i + j);

lost[i][j] = j * 1.0 / (i + j) * win[i-1][j-1] * (i * 1.0 / (i + j - 1));

lost[i][j] += j * 1.0 / (i + j) * win[i][j-2] * ((j - 1) * 1.0 / (i + j - 1));

}

printf("%.9lf\n",win
[m]);

}

}

SGU 495代码:

[cpp] view
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#include <stdio.h>

#include <string.h>

#define MAX 1100000

int n,m;

double ans,dp[MAX],np[MAX];

int main()

{

int i,j,k;

while (scanf("%d%d",&n,&m) != EOF) {

ans = 1;

dp[1] = 1,dp[0] = 0;

for (i = 2; i <= m; ++i) {

dp[i] = dp[i-1] * np[i-1] + dp[i-1] * (dp[i-1] - 1.0/n);

np[i] = 1-dp[i];

ans += dp[i];

}

printf("%.10lf\n",ans);

}

}

Zoj 3383 代码

[java] view
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///*O(min(n,m)*min(n,m)*l)

import java.math.BigInteger;

import java.util.Scanner;

public class Zoj3380 {

static BigInteger[][] C = new BigInteger[110][110];

static BigInteger[][] dp = new BigInteger[110][110];

static void Initial() {

for (int i = 0; i < 110; ++i)

C[i][0] = C[i][i] = BigInteger.ONE;

for (int i = 2; i < 110; ++i)

for (int j = 1; j < i; ++j)

C[i][j] = C[i-1][j].add(C[i-1][j-1]);

}

public static void main(String[] args) {

Initial();

Scanner cin = new Scanner(System.in);

while (cin.hasNext()) {

int m = cin.nextInt();

int n = cin.nextInt();

int l = cin.nextInt();

if (l > m) {

System.out.println("mukyu~");

continue;

}

BigInteger total = BigInteger.valueOf(n).pow(m);

if (l > m / 2) {

BigInteger ans = BigInteger.ZERO;

for (int i = l; i <= m; ++i)

ans = ans.add(C[m][i].multiply(BigInteger.valueOf(n-1).pow(m-i)));

ans = ans.multiply(BigInteger.valueOf(n));

BigInteger gcd = ans.gcd(total);

System.out.println(ans.divide(gcd)+"/"+total.divide(gcd));

}

else {

for (int i = 0;i <= m; ++i)

for (int j = 0; j <= m; ++j)

dp[i][j] = BigInteger.ZERO;

dp[0][0] = BigInteger.ONE;

for (int i = 1; i <= n && i <= m; ++i)

for (int j = 1; j <= m; ++j)

for (int k = 1; k < l && k <= j; ++k)

dp[i][j] = dp[i][j].add(dp[i-1][j-k].multiply(C[m-(j-k)][k]).multiply(BigInteger.valueOf(n-(i-1))));

BigInteger ans = BigInteger.ZERO;

BigInteger Jc = BigInteger.ONE;

for (int i = 1; i <= m; ++i) {

ans = ans.add(dp[i][m].divide(Jc));

Jc = Jc.multiply(BigInteger.valueOf(i+1));

}

ans = total.subtract(ans);

BigInteger gcd = ans.gcd(total);

System.out.println(ans.divide(gcd)+"/"+total.divide(gcd));

}

}

}

}//*/

/*O(m*m*l)

import java.math.BigInteger;

import java.util.Scanner;

public class Zoj3380 {

static BigInteger[][] C = new BigInteger[110][110];

static BigInteger[][] dp = new BigInteger[110][110];

static void Initial() {

for (int i = 0; i < 110; ++i)

C[i][0] = C[i][i] = BigInteger.ONE;

for (int i = 2; i < 110; ++i)

for (int j = 1; j < i; ++j)

C[i][j] = C[i-1][j].add(C[i-1][j-1]);

}

public static void main(String[] args) {

Initial();

Scanner cin = new Scanner(System.in);

while (cin.hasNext()) {

int m = cin.nextInt();

int n = cin.nextInt();

int l = cin.nextInt();

if (l > m) {

System.out.println("mukyu~");

continue;

}

BigInteger total = BigInteger.valueOf(n).pow(m);

if (l > m / 2) {

BigInteger ans = BigInteger.ZERO;

for (int i = l; i <= m; ++i)

ans = ans.add(C[m][i].multiply(BigInteger.valueOf(n-1).pow(m-i)));

ans = ans.multiply(BigInteger.valueOf(n));

BigInteger gcd = ans.gcd(total);

System.out.println(ans.divide(gcd)+"/"+total.divide(gcd));

}

else {

for (int i = 0;i <= n; ++i)

for (int j = 0; j <= m; ++j)

dp[i][j] = BigInteger.ZERO;

dp[0][0] = BigInteger.ONE;

for (int i = 1; i <= n; ++i)

for (int j = 0; j <= m; ++j)

for (int k = 0; k < l && k <= j; ++k)

dp[i][j] = dp[i][j].add(dp[i-1][j-k].multiply(C[m-(j-k)][k]));

BigInteger ans = total.subtract(dp
[m]);

BigInteger gcd = ans.gcd(total);

System.out.println(ans.divide(gcd)+"/"+total.divide(gcd));

}

}

}

}

10 20 3

176771177/800000000

*/

Zoj 3460 代码

[cpp] view
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#include <stdio.h>

#include <string.h>

#include <math.h>

#include <algorithm>

using namespace std;

#define MAX 20000

double dp[MAX], ans;

int c[MAX], vis[MAX];

int n, m, cost[MAX];

void Solve_DP() {

memset(dp, 0, sizeof (dp));

for (int i = 2 * c
; i >= m; --i) {

for (int j = 1; j <= n; ++j)

if(i > c[j]) dp[i] += cost[j];

else dp[i] += 1 + dp[c[j] + i];

dp[i] /= n;

}

}

double Calculate(int att) {

if (vis[att])

return dp[att];

vis[att] = 1;

dp[att] = 0;

for (int i = 1; i <= n; ++i)

if (att > c[i])

dp[att] += cost[i];

else dp[att] += Calculate(att+c[i]) + 1;

dp[att] /= n;

return dp[att];

}

int main() {

int i, j, k;

while (scanf("%d%d", &n, &m) != EOF) {

for (i = 1; i <= n; ++i)

scanf("%d", &c[i]);

sort(c + 1, c + 1 + n);

for (i = 1; i <= n; ++i)

cost[i] = (1 + sqrt(5)) / 2 * c[i] * c[i];

//Solve_DP();

//printf("%.3lf\n", dp[m]);

memset(vis,0,sizeof(vis));

ans = Calculate(m);

printf("%.3lf\n",ans);

}

}

Hdu 4405 代码

[cpp] view
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#pragma comment(linker, "/STACK:1024000000,1024000000")

#include <stdio.h>

#include <string.h>

#include <vector>

#include <algorithm>

using namespace std;

#define MAX 100010

int n,m,next[MAX];

double dp[MAX];

double Solve_DP(int day) {

if (day >= n) return 0;

if (dp[day]) return dp[day];

if (next[day])

dp[day] = Solve_DP(next[day]);

else {

for (int i = 1; i <= 6; ++i)

dp[day] += (Solve_DP(day + i) + 1) * 1/6.0;

}

return dp[day];

}

double Solve_DP1() {

for (int i = n - 1; i >= 0; --i)

if (next[i]) dp[i] = dp[next[i]];

else {

for (int j = 1; j <= 6; ++j) {

int k = i + j >= n ? n : i + j;

dp[i] += (dp[k] + 1) * 1.0 / 6.0;

}

}

return dp[0];

}

int main()

{

int i,j,k,a,b;

while (scanf("%d%d",&n,&m),n + m) {

for (i = 0; i <= n; ++i)

dp[i] = next[i] = 0;

for (i = 1; i <= m; ++i)

scanf("%d%d",&a,&b),next[a] = b;

printf("%.4lf\n",Solve_DP1());

//printf("%.4lf\n",Solve_DP(0));

}

}

http://wenku.baidu.com/view/90adb02acfc789eb172dc8a8.html

http://wenku.baidu.com/view/56147518a8114431b90dd81e.html