三种基础的博弈知识和自己的小总结
2013-08-14 19:48
465 查看
PS:博弈分析起来太伤神了,以前看到 kuangbin大神的博弈知识的看比自己转载的全面,就删了这篇, 复制了下前面那篇,发布了。
这是从回收站中翻出来的, 自己以前稍作了下总结。包含了前面一篇的前三种基础博弈知识。
内容都一样, 但是还是感觉这篇看着比较清楚。
不过如果想了解的全面一点还是看前一篇比较好了。
转载来自:http://hi.baidu.com/qq578117961/item/ab6255f7c9fa7108d99e724e
体若干,规定最后取光物体者取胜。这是我国民间很古老的一个游戏,别看这游戏极其简单,却蕴含着深
刻的数学原理。下面我们来分析一下要如何才能够取胜。
拿走剩余的物品,后者取胜。因此我们发现了如何取胜的法则:如果n=(m+1)r+s,(r为任意自然数,s
≤m),那么先取者要拿走s个物品,如果后取者拿走k(≤m)个,那么先取者再拿走m+1-k个,结果剩下
(m+1)(r-1)个,以后保持这样的取法,那么先取者肯定获胜。总之,要保持给对手留下(m+1)的倍
数,就能最后获胜。
这个游戏还可以有一种变相的玩法:两个人轮流报数,每次至少报一个,最多报十个,谁能报到100
者胜。小题演练
并称其为局势,如果甲面对(0,0),那么甲已经输了,这种局势我们称为奇异局势。前几个奇异局势是
:(0,0)、(1,2)、(3,5)、(4,7)、(6,10)、(8,13)、(9,15)、(11,18)、(12
,20)。
可以看出,a0=b0=0,ak是未在前面出现过的最小自然数,而 bk= ak + k,奇异局势有
如下三条性质:
1。任何自然数都包含在一个且仅有一个奇异局势中。
由于ak是未在前面出现过的最小自然数,所以有ak > ak-1 ,而 bk= ak + k > ak-1 + k-1 = bk-1
> ak-1 。所以性质1。成立。
2。任意操作都可将奇异局势变为非奇异局势。
事实上,若只改变奇异局势(ak,bk)的某一个分量,那么另一个分量不可能在其他奇异局势中,所
以必然是非奇异局势。如果使(ak,bk)的两个分量同时减少,则由于其差不变,且不可能是其他奇异局
势的差,因此也是非奇异局势。
3。采用适当的方法,可以将非奇异局势变为奇异局势。
假设面对的局势是(a,b),若 b = a,则同时从两堆中取走 a 个物体,就变为了奇异局势(0,0)
;如果a = ak ,b > bk,那么,取走b - bk个物体,即变为奇异局势;如果 a = ak , b < bk ,则同
时从两堆中拿走 ak - ab - ak个物体,变为奇异局势( ab - ak , ab - ak+ b - ak);如果a > ak ,
b= ak + k,则从第一堆中拿走多余的数量a - ak 即可;如果a < ak ,b= ak + k,分两种情况,第一种,
a=aj (j < k),从第二堆里面拿走 b - bj 即可;第二种,a=bj (j < k),从第二堆里面拿走 b - aj
即可。
从如上性质可知,两个人如果都采用正确操作,那么面对非奇异局势,先拿者必胜;反之,则后拿者
取胜。
那么任给一个局势(a,b),怎样判断它是不是奇异局势呢?我们有如下公式:
ak =[k(1+√5)/2],bk= ak + k (k=0,1,2,...,n 方括号表示取整函数)
奇妙的是其中出现了黄金分割数(1+√5)/2 = 1。618...,因此,由ak,bk组成的矩形近似为黄金矩形,
由于2/(1+√5)=(√5-1)/2,可以先求出j=[a(√5-1)/2],若a=[j(1+√5)/2],那么a = aj,bj
= aj + j,若不等于,那么a = aj+1,bj+1 = aj+1+ j + 1,若都不是,那么就不是奇异局势。然后再按
照上述法则进行,一定会遇到奇异局势。
ak =[k(1+√5)/2],bk= ak + k (k=0,1,2,...,n 方括号表示取整函数)
k = [a(√5-1)/2], 如果 a=[k(1+√5)/2],那么a = ak,bk= ak + k,
若不等于,那么a = ak+1,bk+1 = ak+1+ k+1,若都不是,那么就不是奇异局势
然是奇异局势,无论谁面对奇异局势,都必然失败。第二种奇异局势是(0,n,n),只要与对手拿走一
样多的物品,最后都将导致(0,0,0)。仔细分析一下,(1,2,3)也是奇异局势,无论对手如何拿,
接下来都可以变为(0,n,n)的情形。
计算机算法里面有一种叫做按位模2加,也叫做异或的运算,我们用符号(+)表示这种运算。这种运
算和一般加法不同的一点是1+1=0。先看(1,2,3)的按位模2加的结果:
1 =二进制01
2 =二进制10
3 =二进制11 (+)
———————
0 =二进制00 (注意不进位)相当于异或 ^
对于奇异局势(0,n,n)也一样,结果也是0。
任何奇异局势(a,b,c)都有a(+)b(+)c =0。
如果我们面对的是一个非奇异局势(a,b,c),要如何变为奇异局势呢?
假设 a < b< c,我们只要将 c变为 a(+)b,即可,
因为有如下的运算结果: a(+)b(+)(a(+)b)=(a(+)a)(+)(b(+)b)=0(+)0=0。
要将c 变为a(+)b,只要从 c中减去 c-(a(+)b)即可。
例1。(14,21,39),14(+)21=27,39-27=12,所以从39中拿走12个物体即可达到奇异局势(14
,21,27)。
例2。(55,81,121),55(+)81=102,121-102=19,所以从121中拿走19个物品就形成了奇异局势
(55,81,102)。
例3。(29,45,58),29(+)45=48,58-48=10,从58中拿走10个,变为(29,45,48)。
例4。我们来实际进行一盘比赛看看:
甲:(7,8,9)->(1,8,9)奇异局势
乙:(1,8,9)->(1,8,4)
甲:(1,8,4)->(1,5,4)奇异局势
乙:(1,5,4)->(1,4,4)
甲:(1,4,4)->(0,4,4)奇异局势
乙:(0,4,4)->(0,4,2)
甲:(0.4,2)->(0,2,2)奇异局势
乙:(0,2,2)->(0,2,1)
甲:(0,2,1)->(0,1,1)奇异局势
乙:(0,1,1)->(0,1,0)
甲:(0,1,0)->(0,0,0)奇异局势
甲胜。
原(http://hi.baidu.com/alpc__ak47/blog/item/033eca25ecceaa3ac9955965.html)
这是从回收站中翻出来的, 自己以前稍作了下总结。包含了前面一篇的前三种基础博弈知识。
内容都一样, 但是还是感觉这篇看着比较清楚。
不过如果想了解的全面一点还是看前一篇比较好了。
转载来自:http://hi.baidu.com/qq578117961/item/ab6255f7c9fa7108d99e724e
博弈论——取石子问题
博弈论——取石子问题 有一种很有意思的游戏,就是有物体若干堆,可以是火柴棍或是围棋子等等均可。两个人轮流从堆中取物体若干,规定最后取光物体者取胜。这是我国民间很古老的一个游戏,别看这游戏极其简单,却蕴含着深
刻的数学原理。下面我们来分析一下要如何才能够取胜。
(一)巴什博奕(Bash Game):
只有一堆n个物品,两个人轮流从这堆物品中取物,规定每次至少取一个,最多取m个。最后取光者得胜。
显然,如果n=m+1,那么由于一次最多只能取m个,所以,无论先取者拿走多少个,后取者都能够一次拿走剩余的物品,后者取胜。因此我们发现了如何取胜的法则:如果n=(m+1)r+s,(r为任意自然数,s
≤m),那么先取者要拿走s个物品,如果后取者拿走k(≤m)个,那么先取者再拿走m+1-k个,结果剩下
(m+1)(r-1)个,以后保持这样的取法,那么先取者肯定获胜。总之,要保持给对手留下(m+1)的倍
数,就能最后获胜。
这个游戏还可以有一种变相的玩法:两个人轮流报数,每次至少报一个,最多报十个,谁能报到100
者胜。小题演练
(二)威佐夫博奕(Wythoff Game):
有两堆各若干个物品,两个人轮流从某一堆或同时从两堆中取同样多的物品,规定每次至少取一个,多者不限,最后取光者得胜。
这种情况下是颇为复杂的。我们用(ak,bk)(ak ≤ bk ,k=0,1,2,...,n)表示两堆物品的数量并称其为局势,如果甲面对(0,0),那么甲已经输了,这种局势我们称为奇异局势。前几个奇异局势是
:(0,0)、(1,2)、(3,5)、(4,7)、(6,10)、(8,13)、(9,15)、(11,18)、(12
,20)。
可以看出,a0=b0=0,ak是未在前面出现过的最小自然数,而 bk= ak + k,奇异局势有
如下三条性质:
1。任何自然数都包含在一个且仅有一个奇异局势中。
由于ak是未在前面出现过的最小自然数,所以有ak > ak-1 ,而 bk= ak + k > ak-1 + k-1 = bk-1
> ak-1 。所以性质1。成立。
2。任意操作都可将奇异局势变为非奇异局势。
事实上,若只改变奇异局势(ak,bk)的某一个分量,那么另一个分量不可能在其他奇异局势中,所
以必然是非奇异局势。如果使(ak,bk)的两个分量同时减少,则由于其差不变,且不可能是其他奇异局
势的差,因此也是非奇异局势。
3。采用适当的方法,可以将非奇异局势变为奇异局势。
假设面对的局势是(a,b),若 b = a,则同时从两堆中取走 a 个物体,就变为了奇异局势(0,0)
;如果a = ak ,b > bk,那么,取走b - bk个物体,即变为奇异局势;如果 a = ak , b < bk ,则同
时从两堆中拿走 ak - ab - ak个物体,变为奇异局势( ab - ak , ab - ak+ b - ak);如果a > ak ,
b= ak + k,则从第一堆中拿走多余的数量a - ak 即可;如果a < ak ,b= ak + k,分两种情况,第一种,
a=aj (j < k),从第二堆里面拿走 b - bj 即可;第二种,a=bj (j < k),从第二堆里面拿走 b - aj
即可。
从如上性质可知,两个人如果都采用正确操作,那么面对非奇异局势,先拿者必胜;反之,则后拿者
取胜。
那么任给一个局势(a,b),怎样判断它是不是奇异局势呢?我们有如下公式:
ak =[k(1+√5)/2],bk= ak + k (k=0,1,2,...,n 方括号表示取整函数)
奇妙的是其中出现了黄金分割数(1+√5)/2 = 1。618...,因此,由ak,bk组成的矩形近似为黄金矩形,
由于2/(1+√5)=(√5-1)/2,可以先求出j=[a(√5-1)/2],若a=[j(1+√5)/2],那么a = aj,bj
= aj + j,若不等于,那么a = aj+1,bj+1 = aj+1+ j + 1,若都不是,那么就不是奇异局势。然后再按
照上述法则进行,一定会遇到奇异局势。
总结:
判断局势(a, b) 是否是寄异局势:ak =[k(1+√5)/2],bk= ak + k (k=0,1,2,...,n 方括号表示取整函数)
k = [a(√5-1)/2], 如果 a=[k(1+√5)/2],那么a = ak,bk= ak + k,
若不等于,那么a = ak+1,bk+1 = ak+1+ k+1,若都不是,那么就不是奇异局势
(三)尼姆博奕(Nimm Game):
有三堆各若干个物品,两个人轮流从某一堆取任意多的物品,规定每次至少取一个,多者不限,最后取光者得胜。
这种情况最有意思,它与二进制有密切关系,我们用(a,b,c)表示某种局势,首先(0,0,0)显然是奇异局势,无论谁面对奇异局势,都必然失败。第二种奇异局势是(0,n,n),只要与对手拿走一
样多的物品,最后都将导致(0,0,0)。仔细分析一下,(1,2,3)也是奇异局势,无论对手如何拿,
接下来都可以变为(0,n,n)的情形。
计算机算法里面有一种叫做按位模2加,也叫做异或的运算,我们用符号(+)表示这种运算。这种运
算和一般加法不同的一点是1+1=0。先看(1,2,3)的按位模2加的结果:
1 =二进制01
2 =二进制10
3 =二进制11 (+)
———————
0 =二进制00 (注意不进位)相当于异或 ^
对于奇异局势(0,n,n)也一样,结果也是0。
任何奇异局势(a,b,c)都有a(+)b(+)c =0。
如果我们面对的是一个非奇异局势(a,b,c),要如何变为奇异局势呢?
假设 a < b< c,我们只要将 c变为 a(+)b,即可,
因为有如下的运算结果: a(+)b(+)(a(+)b)=(a(+)a)(+)(b(+)b)=0(+)0=0。
要将c 变为a(+)b,只要从 c中减去 c-(a(+)b)即可。
例1。(14,21,39),14(+)21=27,39-27=12,所以从39中拿走12个物体即可达到奇异局势(14
,21,27)。
例2。(55,81,121),55(+)81=102,121-102=19,所以从121中拿走19个物品就形成了奇异局势
(55,81,102)。
例3。(29,45,58),29(+)45=48,58-48=10,从58中拿走10个,变为(29,45,48)。
例4。我们来实际进行一盘比赛看看:
甲:(7,8,9)->(1,8,9)奇异局势
乙:(1,8,9)->(1,8,4)
甲:(1,8,4)->(1,5,4)奇异局势
乙:(1,5,4)->(1,4,4)
甲:(1,4,4)->(0,4,4)奇异局势
乙:(0,4,4)->(0,4,2)
甲:(0.4,2)->(0,2,2)奇异局势
乙:(0,2,2)->(0,2,1)
甲:(0,2,1)->(0,1,1)奇异局势
乙:(0,1,1)->(0,1,0)
甲:(0,1,0)->(0,0,0)奇异局势
甲胜。
原(http://hi.baidu.com/alpc__ak47/blog/item/033eca25ecceaa3ac9955965.html)
相关文章推荐
- 关于博弈基础知识的总结:巴什博弈(Bash Game)、威佐夫博奕(Wythoff Game)、尼姆博奕(Nim Game)
- JAVA基础针对自己薄弱环节总结01(循环之前的知识)
- 自己总结C/C++的一些容易被遗忘的基础知识!
- C语言需要注意的基础知识点(自己总结的)
- 自己一晚上总结的php基础知识!好累。好充实。
- 自己总结的javascript基础知识
- 博弈基础知识总结
- JAVA基础针对自己薄弱环节总结01(循环之前的知识)
- linux基础知识必掌握知识[自己原来上学总结的难免有错误,多谢指点]
- 自己总结的一些常数据结构基础知识
- 三种最基础的博弈知识模型
- 自己总结的有关表单的一些基础知识....表单的类型和属性......
- [总结]音视频基础知识·三
- C语言基础知识大总结1
- UIImagePickerController 的基本用法 - iOS - UI基础知识总结14
- JavaScript 语言基础知识点总结(思维导图)
- 对C++基础知识的总结(主要针对笔试面试)
- React Native 入门基础知识总结
- JavaScript基础知识总结