多重背包问题

P03: 多重背包问题题目
有N种物品和一个容量为V的背包。第i种物品最多有n[i]件可用，每件费用是c[i]，价值是w[i]。求解将哪些物品装入背包

可使这些物品的费用总和不超过背包容量，且价值总和最大。

基本算法
这题目和完全背包问题很类似。基本的方程只需将完全背包问题的方程略微一改即可，因为对于第i种物品有n[i]+1种策

略：取0件，取1件……取n[i]件。令f[i][v]表示前i种物品恰放入一个容量为v的背包的最大权值，则有状态转移方程：

f[i][v]=max{f[i-1][v-k*c[i]]+k*w[i]|0<=k<=n[i]}

复杂度是O(V*Σn[i])。

转化为01背包问题
另一种好想好写的基本方法是转化为01背包求解：把第i种物品换成n[i]件01背包中的物品，则得到了物品数为Σn[i]的01

背包问题，直接求解，复杂度仍然是O(V*Σn[i])。

但是我们期望将它转化为01背包问题之后能够像完全背包一样降低复杂度。仍然考虑二进制的思想，我们考虑把第i 种

物品换成若干件物品，使得原问题中 第i种物品可取的每种策略——取0..n[i]件——均能等价于取若干件代换以后的物品。

另外，取超过n[i]件的策略必不能出现。

方法是：将第i种物品分成若干件物品，其中每件物品有一个系数，这件物品的费用和价值均是原来的费用和价值乘以这

个系数。使这些系数分别为 1,2,4,...,2^(k-1),n[i]-2^k+1，且k是满足n[i]-2^k+1>0的最大整数。例如，如果n[i]为13，

就将这种 物品分成系数分别为1,2,4,6的四件物品。

分成的这几件物品的系数和为n[i]，表明不可能取多于n[i]件的第i种物品。另外这种方法也能保证对于0..n[i]间的每一个整数，均可以用 若干个系数的和表示，这个证明可以分0..2^k-1和2^k..n[i]两段来分别讨论得出，并不难，希望你自己思

考尝试一下。

这样就将第i种物品分成了O(log n[i])种物品，将原问题转化为了复杂度为<math>O(V*Σlog n[i])的01背包问题，是很大

的改进。

下面给出O(log amount)时间处理一件多重背包中物品的过程，其中amount表示物品的数量：

procedure MultiplePack(cost,weight,amount)

     if cost*amount>=V

         CompletePack(cost,weight)

         return

     integer k=1

     while k<amount

         ZeroOnePack(k*cost,k*weight)

         amount=amount-k

         k=k*2

     ZeroOnePack(amount*cost,amount*weight)

希望你仔细体会这个伪代码，如果不太理解的话，不妨翻译成程序代码以后，单步执行几次，或者头脑加纸笔模拟一

下，也许就会慢慢理解了。

O(VN)的算法
多重背包问题同样有O(VN)的算法。这个算法基于基本算法的状态转移方程，但应用单调队列的方法使每个状态的值可

以 以均摊O(1)的时间求解。由于用单调队列优化的DP已超出了NOIP的范围，故本文不再展开讲解。我最初了解到这个

方法是在楼天成的“男人八题”幻灯片 上。

小结
这里我们看到了将一个算法的复杂度由O(V*Σn[i])改进到O(V*Σlog n[i])的过程，还知道了存在应用超出NOIP范围的知

识的O(VN)算法。希望你特别注意“拆分物品”的思想和方法，自己证明一下它的正确性，并将完整的程序代码写出来。

最新模板（自己写的哦）

// 多重背包问题（手工代码）

 

 

 

#include<stdio.h>
#include<string.h>
#include<stdlib.h>
#define N 1000         //物品个数
#define M 100000000    //所有物品可能的最大价值
int m
,c
,w
,f[M];
int V;
int max(int a,int b){return a>b?a:b;}
void ZeroOnePack(int cost,int weight)
{
int v;
for(v=V;v>=cost;v--) f[v]=max(f[v],f[v-cost]+weight);
}
void CompletePack(int cost,int weight)
{
int v;
for(v=cost;v<=V;v++)
f[v]=max(f[v],f[v-cost]+weight);
}
void MultiplePack(int cost,int weight,int amount)
{
int k;
if(cost*amount>=V)
{
CompletePack(cost,weight);
return;
}
k=1;
while(k<amount)
{
ZeroOnePack(k*cost,k*weight);
amount=amount-k;
k=k*2;
}
ZeroOnePack(amount*cost,amount*weight);
}
int main()
{
int n,i;
scanf("%d %d",&n,&V);
// 两种不同的初始化方式，根据情况自行选择
//memset(f,0,sizeof(f[0])*(V+1));              // 只希望价格尽量大
//memset(f,-M,sizeof(f[0])*(V+1));f[0]=0;      // 要求恰好装满背包
for(i=0;i<n;i++) scanf("%d %d %d",m+i,c+i,w+i);
for(i=0;i<n;i++) MultiplePack(c[i],w[i],m[i]);
printf("%d\n",f[V]);
system("PAUSE");
return 0;
}
测试数据

10 1000
2 50 100
6 49 200
10 100 300
5 90 90
6 45 61
2 70 100
20 60 100
10 80 180
20 90 180
9 60 130