POJ 3150 / Uva 1386 Cellular Automaton 解题报告(循环矩阵)
2013-08-13 10:40
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题目大意:细胞上的数字会随着周围数字的和而变化,求第k轮之后数字的情况。
解题报告:很容易可以想到矩阵乘法。用快速幂的确可以很快的计算出k次方来。
可是n最大有500,矩阵乘法的复杂度是n^3,普通算法一定会超时。
这时就要看矩阵的性质了。仔细观察可以发现矩阵的每一行都是对称的,而且下一行左移一位就是上一行。这种矩阵叫循环矩阵。
循环矩阵的性质:循环矩阵A,与矩阵B,A*B仍然是循环矩阵。
根据性质,我们做矩阵乘法时可以只计算第一行。当然,因为第一行已经包含整个矩阵的信息了,所以我们可以只记录第一行。
用快速幂可以很快的计算出来答案。另外每次计算完之后取模会快很多。POJ上下面的代码是500MS。
今年的杭州邀请赛的第一题也是这种类型,当时没做出来,因为连矩阵乘法都看不出来。今天一口气把这题也A了。
题目链接:HDU 4576
这道题很有意思……关键是细节。解题报告:解题报告
解题报告:很容易可以想到矩阵乘法。用快速幂的确可以很快的计算出k次方来。
可是n最大有500,矩阵乘法的复杂度是n^3,普通算法一定会超时。
这时就要看矩阵的性质了。仔细观察可以发现矩阵的每一行都是对称的,而且下一行左移一位就是上一行。这种矩阵叫循环矩阵。
循环矩阵的性质:循环矩阵A,与矩阵B,A*B仍然是循环矩阵。
根据性质,我们做矩阵乘法时可以只计算第一行。当然,因为第一行已经包含整个矩阵的信息了,所以我们可以只记录第一行。
用快速幂可以很快的计算出来答案。另外每次计算完之后取模会快很多。POJ上下面的代码是500MS。
#include <cstdio> #include <cstring> #include <algorithm> using namespace std; typedef long long Array[555]; int mod; int n; Array a, b, c; void mul(Array& a, Array& b) { memset(c,0,sizeof(c)); for(int i=0;i<n;i++) for(int k=0;k<n;k++) c[i]+=a[k]*b[k>=i?(k-i):(n+k-i)]; for(int i=0;i<n;i++) a[i]=c[i]%mod; } void powArray(Array& a, int b) { Array res={1}; while(b) { if(b&1) mul(res, a); mul(a, a); b>>=1; } memcpy(a, res, sizeof(res)); } int main() { int d, k; while(~scanf("%d%d%d%d", &n, &mod, &d, &k)) { memset(a, 0, sizeof(a)); for(int i=0;i<=d;i++) a[i]=a[(n-i)%n]=1; powArray(a, k); for(int i=0;i<n;i++) scanf("%lld", b+i); mul(b, a); printf("%d", b[0]); for(int i=1;i<n;i++) printf(" %lld", b[i]); puts(""); } }
今年的杭州邀请赛的第一题也是这种类型,当时没做出来,因为连矩阵乘法都看不出来。今天一口气把这题也A了。
题目链接:HDU 4576
这道题很有意思……关键是细节。解题报告:解题报告
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