背包问题解析

一.最简单的背包问题----01背包

1.题：有N件物品和一个容量为V的背包。第i件物品的体积是c[i]，价值是w[i]。求解将哪些物品装入背包可使这些物品的体积总和不超过背包容量，且价值总和最大。

2.思路：每一个物品可以放也可以不放，因此比较放的时候的价值和不放的时候的价值，用max函数比较

3.方程：

即f[i][v]表示前i件物品恰放入一个容量为v的背包可以获得的最大价值。

则其状态转移方程便是：f[i][v]=max{f[i-1][v],f[i-1][v-c[i]]+w[i]}。

可以压缩空间，f[v]=max{f[v],f[v-c[i]]+w[i]}

二.完全背包问题

1.题目

有N中物品和一个容量为V的背包，每种物品都有无限见可用。第i件物品的费用是w[i]，价值是c[i]。求解将哪些物品装入背包可使这些物品的费用总和不超过背包容量，且价值总和最大。

2.思路：

这个问题非常类似于01背包问题，所不同的是每种物品有无限件，与他相关的策略已经不是取或不取两种，而是有0件，1件，2件....等很多种。

3.优化方程：

也可以像01背包那样得到优化方程：

这个算法使用一维数组，核心代码如下：

for i=1..N

for v=0..V

f[v]=max{f[v],f[v-c[i]]+w[i]};

4.小结

你会发现，这个伪代码与01背包问题的伪代码只有v的循环次序不同而已。

完全背包问题也是一个相当基础的背包问题，它有两个状态转移方程：

f[i][v]=max{f[i-1][v-k*c[i]]+k*w[i]|0<=k*c[i]<=v}

f[v]=max{f[v],f[v-c[i]]+w[i]}

后面两个方程是一个意思。希望你能够对这三个状态转移方程都仔细地体会，不仅记住，也要弄明白它们是怎么得出来的，最好能够自己想一种得到这些方程的过程。

三.多重背包问题

1.题目

有N种物品和一个容量为V的背包。第i种物品最多有n[i]件可用，每件费用是c[i]，价值是w[i]。求解将哪些物品装入背包可使这些物品的费用总和不超过背包容量，且价值总和最大。

2.基本算法

这题目和完全背包问题很类似。基本的方程只需将完全背包问题的方程略微一改即可，因为对于第i种物品有n[i]+1种策略：取0件，取1件……取n[i]件。令f[i][v]表示前i种物品恰放入一个容量为v的背包的最大权值，则有状态转移方程：

f[i][v]=max{f[i-1][v-k*c[i]]+k*w[i]|0<=k<=n[i]}