费马小定理与素数判定

费马小定理是初等数论四大定理（威尔逊定理，欧拉定理（数论中的欧拉定理，即欧拉函数），中国剩余定理和费马小定理）之一，在初等数论中有着非常广泛和重要的应用。实际上，它是欧拉定理的一个特殊情况。

其内容为： 假如p是质数，且GCD(a,p)=1，那么 a^(p-1) ≡1（mod p）（假如p是质数，且a,p互质，那么 a的(p-1)次方除以p的余数恒等于1）

证明：大数取余的公式 (a*b)%mod =(a%mod * b%mod) %mod, 设P为素数 那么 (a*k) %p =(a%p*k) % P [1<=k<=p-1] ;a%p=c是个定值，由于p是个素数，所以(a%p*k) % P的值互不相同，如果存在 (c*i) %p == (c*j) %p (i<j) 那么 c*i +p*t == c*j , 说明 c = a%p 可以被 p 整除 ，显然不成立； (a*k) %p的值在[1,p-1]中取，既然互不相同，所以 (a*k) %p的值覆盖了 [1,p-1] 中的所有数，则 (a*1) %p * (a*2) %p * (a*3) %p * ... * (a*(p-1)) %p = 1*2*3*...*(p-1) =(a^(p-1))%p *1*2*3*...*(p-1) ==> (a^(p-1))%p=1 证毕。

用费马小定理的逆命题可以来判定素数，但是其逆命题不一定成立，所以有一定的概率，需要多次测试来减小出错的概率。每次测试随机取一个正整数a,要保证 GCD(a,p)=1; 用快速幂来计算a^(p-1) 看是否为 1，如果为1则通过这次测试。 但是这样也可能出错，因为存在称做Carmichael数的合数，使得对这些合数进行多次测试都能通过，但是它们不是素数。前3个Carmichael数是561,1105,1729。Carmichael数是非常少的。在1~100000000范围内的整数中，只有255个Carmichael数。利用二次探测定理可以对上面的素数判定算法作进一步改进，以避免将Carmichael数当作素数。

二次探测定理 如果p是一个素数，且0<x<p,则方程x^2≡1(mod p)的解必为 x=1或p-1。

long long gcd(long long a,long long b)
{
if (b==0) return a;
return gcd(b,a%b);
}
long long Qpower(long long a,long long b,long long mod)
{
if (b==1) return a%mod;
if (b&1) return ((a%mod)*Qpower(a,b-1,mod))%mod;
long long t=Qpower(a,b>>1,mod);
long long tt=(t*t)%mod;
if (tt==1)   // 二次探测
{
if (t!=1 && t!=mod-1) iff=false;
}
return tt;
}
bool ifp(long long p)
{
int T=30;
iff=true;
while (T--)
{
long long a=rand()%10000*rand()+1; //不能取0
while (gcd(a,p)!=1){ if (a<p || a%p!=0) return false;a=rand()%1000*rand()+1;}
if (Qpower(a,p-1,p)!=1|| !iff) return false;
}
return true;
}

素数判定代码

还有更高效的方法来判定素数。