【矩阵乘法专题】解题报告

HDU 1575 Tr A

　　水题。直接矩阵快速幂后求对角线元素和。

HDU 1757 A Simple Math Problem

　　水题。公式非常容易推。



HDU 2604 Queuing

　　以mm结尾的只能由fm结尾的或者mm结尾的推来。以mf结尾的只能由mm结尾的推来，以fm结尾的只能由mf或者ff推来，以ff结尾的只能由mf推来。于是定义状态dp[i][j] 表示i位数以j状态结尾的数的个数。j=0,1,2,3分别表示以mm,mf,fm,ff结尾。

于是可以得到dp方程:

　　dp[i][0]=dp[i-1][2] + dp[i-1][0]
　　dp[i][1]=dp[i-1][0]
　　dp[i][2]=dp[i-1][1] + dp[i-1][3]
　　dp[i][3]=dp[i-1][1]

这样之后搞出系数矩阵就是了：



　dp
[0]+dp
[1]+dp
[2]+dp
[3]就是答案了。

HDU 1588 Gauss Fibonacci

　　题目也不难，提提公因式矩阵就出来了。然后分别做两次快速幂，一次是Fibonacci矩阵的，一次是求和的。

　


HDU 3117 Fibonacci Numbers

　　后四位可以用矩阵快速幂求出来，前面四位数是用一条公式计算出来的，这条公式是这样子的：

　　


　　貌似这条公式经常遇到啊，后面还有一题要用到这公式。

HDU 2254 奥运

　　这道题一看之下是不会做的，但不失为一道经典题目。下面简单介绍这个经典解法：

　 给定一个有向图，问从A点恰好走k步（允许重复经过边）到达B点的方案数mod p的值
把给定的图转为邻接矩阵，即A(i,j)=1当且仅当存在一条边i->j。令C=A*A，那么C(i,j)=ΣA(i,k)*A(k,j)，实际上就等于从点i到点j恰好经过2条边的路径数（枚举k为中转点）。类似地，C*A的第i行第j列就表示从i到j经过3条边的路径数。同理，如果要求经过k步的路径数，我们只需要二分求出A^k即可。

在此转载Matrix67的一篇不错的博文《十个利用矩阵乘法解决的经典题目》

HDU 2276 Kiki & Little Kiki 2

　　看到这么大的数据规模，想到要用矩阵做的，但是又不敢相信，唉~，题目隐藏得太深了。

　　当某个位的左边是1时该位0 -> 1，1 -> 0，左边是0时该位0->0，1->1，不难发现当考虑线性结构的话有f[i] = (f[i] + f[i-1]) % 2。题目是环形的，自己处理一下边界就行了，那么矩阵是这样子的（n = 10）：



HDU 2855 Fibonacci Check-up

　　这道题的组合数很难办，那么我们的目的是要利用Fibonacci数消化掉那么庞大的组合数C(n,k)，否则就没法求了。这样我们转化一下：



　　最后竟然是F(2n)你敢信？！

HDU 2971 Tower

　　Sn = Sn-1 + an2;

　　an = 2*a2*an-1-an-2;

令k = 2*a2那么 Sn = Sn-1 + (2*a2*an-1-an-2)2 = Sn-1 + k2*an-12 - 2*k*an-1-an-2 + an-22;

然后构造出矩阵为：



　　注意负数要加MOD变正。

HDU 2294 Pendant

　　非常好的一道题，DP+矩阵优化。

　　首先，容易得到DP转移方程：

　　dp[i][j]表示长度为i的pendant，用了j种珍珠，所构成的方案数， 则dp[i][j] = dp[i-1][j] * j + dp[i-1][j-1] * (k-j+1)

　　那么dp[1][k]+dp[2][k]+…+dp
[k]为所求。

构造矩阵为：



初始化dp[0][0] = 1, dp[0][i] = 0 (1<=i<=k);

这样之后快速幂求和即可。