01背包 学习笔记 1st

动态规划的基本思想：

将一个问题分解为子问题递归求解，且将中间结果保存以避免重复计算。通常用来求最优解，且最优解的局部也是最优的。求解过程产生多个决策序列，下一步总是依赖上一步的结果，自底向上的求解。

动态规划算法可分解成从先到后的4个步骤：

1. 描述一个最优解的结构，寻找子问题，对问题进行划分。

2. 定义状态。往往将和子问题相关的各个变量的一组取值定义为一个状态。某个状态的值就是这个子问题的解（若有k个变量，一般用K维的数组存储各个状态下的解，并可根   
据这个数组记录打印求解过程。）。

3. 找出状态转移方程。一般是从一个状态到另一个状态时变量值改变。

4.以“自底向上”的方式计算最优解的值。

5. 从已计算的信息中构建出最优解的路径。(最优解是问题达到最优值的一组解)其中步骤1~4是动态规划求解问题的基础，如果题目只要求最优解的值，则步骤5可以省略

 

01背包:
有N件物品和一个重量为M的背包。（每种物品均只有一件）第i件物品的重量是w[i]，价值是p[i]。求解将哪些物品装入背包可使价值总和最大

状态转移方程：

v[i][m]=max(v[i-1][m],v[i-1][m-w[i]]+p[i]);

解释一下：
用v数组代表价值，v[i][m]代表 前i件物品（包括考虑第i件）放入重量为m的背包中，能拥有的最大价值。

这样
我们来考虑第i件物品，它有两种决策。第一种是 如果不将第i件物品放入背包，那么问题转化为前i-1件物品的最大价值是多少。也就是v[i][m]。第二种情况是 如果将第i件物品放入背包，那么我们去除掉这件物品的在价值和重量上的影响，那么问题便转化为前i-1件物品 放入重量为m-w[i]的背包中所能产生的最大价值。

两种情况取max

 

 

n件物品 
背包重量为M:

 

for(i=1;i<=n;i++)

     
for(m=0;m<=M;m++)

              v[i][m]=max(v[i-1][m],v[i-1][m-w[i]]+p[i]);

 

 

这样 这个问题的时间复杂度 不能优化了，但是空间复杂度可以优化。

 

用f一维数组代表当前最大价值。

for(i=1;i<=n;i++)

    for(v=v;v>=cost;v--)

           f[v]=max(f[v],f[v-cost]+p );

 

也就是说  我们用f数组存储i-1件物品时的最大价值，所以当考虑到第i件物品时，  当容量为v时，依然有两种情况，这件物品不放，转化为i-1件物品的最大价值（此时的数组里不正是i-1件物品的最大价值么）  第二种情况，同理、 放这件物品 就转化为f（v-cost） 的最大价值  cost表示这件物品消耗空间。

考虑到覆盖问题 所以内存循环要从v向cost循环。