语音识别一些概率知识--似然估计/最大似然估计/高斯混合模型

在语音识别中，概率模型占了至关重要的地位，在学习语音识别技术前，自己还是好好整理一下相关的概率知识。

1.似然估计

1.1原理

在数理统计学中，似然函数是一种关于统计模型中的参数的函数，表示模型参数中的似然性。似然函数在统计推断中有重大作用，如在最大似然估计和费雪信息之中的应用等等。“似然性”与“或然性”或“概率”意思相近，都是指某种事件发生的可能性，但是在统计学中，“似然性”和“或然性”或“概率”又有明确的区分。概率用于在已知一些参数的情况下，预测接下来的观测所得到的结果，而似然性则是用于在已知某些观测所得到的结果时，对有关事物的性质的参数进行估计。

在这种意义上，似然函数可以理解为条件概率的逆反。在已知某个参数B时，事件A会发生的概率写作：


利用贝叶斯定理，



因此，我们可以反过来构造表示似然性的方法：已知有事件A发生，运用似然函数

，我们估计参数B的可能性。形式上，似然函数也是一种条件概率函数，但我们关注的变量改变了：


注意到这里并不要求似然函数满足归一性：

。一个似然函数乘以一个正的常数之后仍然是似然函数。对所有

，都可以有似然函数：

1.2例子

 








两次投掷都正面朝上时的似然函数

 

考虑投掷一枚硬币的实验。通常来说，已知投出的硬币正面朝上和反面朝上的概率各自是

，便可以知道投掷若干次后出现各种结果的可能性。比如说，投两次都是正面朝上的概率是0.25。用条件概率表示，就是：


其中H表示正面朝上。

在统计学中，我们关心的是在已知一系列投掷的结果时，关于硬币投掷时正面朝上的可能性的信息。

我们可以建立一个统计模型：假设硬币投出时会有

的概率正面朝上，而有


的概率反面朝上。

这时，条件概率可以改写成似然函数：


也就是说，对于取定的似然函数，在观测到两次投掷都是正面朝上时，

的似然性是0.25（这并不表示当观测到两次正面朝上时


的概率是0.25）。

如果考虑

，那么似然函数的值也会改变。










三次投掷中头两次正面朝上，第三次反面朝上时的似然函数

注意到似然函数的值变大了。

这说明，如果参数

的取值变成0.6的话，结果观测到连续两次正面朝上的概率要比假设


时更大。也就是说，参数

取成0.6 要比取成0.5 更有说服力，更为“合理”。总之，似然函数的重要性不是它的具体取值，而是当参数变化时函数到底变小还是变大。对同一个似然函数，如果存在一个参数值，使得它的函数值达到最大的话，那么这个值就是最为“合理”的参数值。

在这个例子中，似然函数实际上等于：


， 其中

。如果取

，那么似然函数达到最大值1。也就是说，当连续观测到两次正面朝上时，假设硬币投掷时正面朝上的概率为1是最合理的。

类似地，如果观测到的是三次投掷硬币，头两次正面朝上，第三次反面朝上，那么似然函数将会是：


， 其中T表示反面朝上，

。这时候，似然函数的最大值将会在

的时候取到。也就是说，当观测到三次投掷中前两次正面朝上而后一次反面朝上

2最大后验估计

2.1原理

最大后验估计是根据经验数据获得对难以观察的量的点估计。与最大似然估计类似，但是最大的不同时，最大后验估计的融入了要估计量的先验分布在其中。故最大后验估计可以看做规则化的最大似然估计。

    首先，我们回顾上篇文章中的最大似然估计，假设x为独立同分布的采样，θ为模型参数,f为我们所使用的模型。那么最大似然估计可以表示为：

    


现在，假设θ的先验分布为g。通过贝叶斯理论，对于θ的后验分布如下式所示：

    


最后验分布的目标为：

    


　　　　注：最大后验估计可以看做贝叶斯估计的一种特定形式。

2.2例子

假设有五个袋子，各袋中都有无限量的饼干(樱桃口味或柠檬口味)，已知五个袋子中两种口味的比例分别是

　　　　樱桃 100%

　　　　樱桃 75% + 柠檬 25%

　　　　樱桃 50% + 柠檬 50%

　　　　樱桃 25% + 柠檬 75%

　　　　柠檬 100%

　　如果只有如上所述条件，那问从同一个袋子中连续拿到2个柠檬饼干，那么这个袋子最有可能是上述五个的哪一个？

      我们首先采用最大似然估计来解这个问题，写出似然函数。假设从袋子中能拿出柠檬饼干的概率为p(我们通过这个概率p来确定是从哪个袋子中拿出来的)，则似然函数可以写作

　　


　　由于p的取值是一个离散值，即上面描述中的0,25%，50%，75%，1。我们只需要评估一下这五个值哪个值使得似然函数最大即可，得到为袋子5。这里便是最大似然估计的结果。

上述最大似然估计有一个问题，就是没有考虑到模型本身的概率分布，下面我们扩展这个饼干的问题。

假设拿到袋子1或5的机率都是0.1，拿到2或4的机率都是0.2，拿到3的机率是0.4，那同样上述问题的答案呢？这个时候就变MAP了。我们根据公式

 　　


写出我们的MAP函数。

 　　


根据题意的描述可知，p的取值分别为0,25%，50%，75%，1，g的取值分别为0.1，0.2,0.4,0.2,0.1.分别计算出MAP函数的结果为：0,0.0125,0.125,0.28125,0.1.由上可知，通过MAP估计可得结果是从第四个袋子中取得的最高。

　　上述都是离散的变量，那么连续的变量呢？假设

为独立同分布的

，μ有一个先验的概率分布为

。那么我们想根据

来找到μ的最大后验概率。根据前面的描述，写出MAP函数为：

 　　


　　此时我们在两边取对数可知。所求上式的最大值可以等同于求

　　


　　的最小值。求导可得所求的μ为

 　　


　　以上便是对于连续变量的MAP求解的过程。

在MAP中我们应注意的是：

    MAP与MLE最大区别是MAP中加入了模型参数本身的概率分布，或者说。MLE中认为模型参数本身的概率的是均匀的，即该概率为一个固定值。

 3 最大似然估计

3.1原理

给定一个概率分布

，假定其概率密度函数（连续分布）或概率聚集函数（离散分布）为

，以及一个分布参数

，我们可以从这个分布中抽出一个具有

个值的采样

，通过利用

，我们就能计算出其概率：


但是，我们可能不知道

的值，尽管我们知道这些采样数据来自于分布

。那么我们如何才能估计出

呢？一个自然的想法是从这个分布中抽出一个具有

个值的采样

，然后用这些采样数据来估计

.

一旦我们获得

，我们就能从中找到一个关于

的估计。最大似然估计会寻找关于

的最可能的值（即，在所有可能的

取值中，寻找一个值使这个采样的“可能性”最大化）。这种方法正好同一些其他的估计方法不同，如

的非偏估计，非偏估计未必会输出一个最可能的值，而是会输出一个既不高估也不低估的

值。

要在数学上实现最大似然估计法，我们首先要定义似然函数:


并且在

的所有取值上，使这个函数最大化(一阶导数)。这个使可能性最大的

值即被称为

的最大似然估计。

注意

这里的似然函数是指

不变时，关于

的一个函数。
最大似然估计函数不一定是惟一的，甚至不一定存在。

3.2例子

离散分布，离散有限参数空间[编辑]

考虑一个抛硬币的例子。假设这个硬币正面跟反面轻重不同。我们把这个硬币抛80次（即，我们获取一个采样

并把正面的次数记下来，正面记为H，反面记为T）。并把抛出一个正面的概率记为

，抛出一个反面的概率记为

（因此，这里的

即相当于上边的

）。假设我们抛出了49个正面，31个反面，即49次H，31次T。假设这个硬币是我们从一个装了三个硬币的盒子里头取出的。这三个硬币抛出正面的概率分别为

,


,


.这些硬币没有标记，所以我们无法知道哪个是哪个。使用最大似然估计，通过这些试验数据（即采样数据），我们可以计算出哪个硬币的可能性最大。这个似然函数取以下三个值中的一个：


我们可以看到当

时，似然函数取得最大值。这就是

的最大似然估计。

离散分布，连续参数空间[编辑]

现在假设例子1中的盒子中有无数个硬币，对于

中的任何一个

，
都有一个抛出正面概率为

的硬币对应，我们来求其似然函数的最大值：


其中

. 我们可以使用微分法来求最值。方程两边同时对

取微分，并使其为零。










在不同比例参数值下一个二项式过程的可能性曲线t = 3, n = 10；其最大似然估计值发生在其众数并在曲线的最大值处。

其解为

,


，以及

.使可能性最大的解显然是

（因为

和

这两个解会使可能性为零）。因此我们说最大似然估计值为

.

这个结果很容易一般化。只需要用一个字母

代替49用以表达伯努利试验中的被观察数据（即样本）的“成功”次数，用另一个字母

代表伯努利试验的次数即可。使用完全同样的方法即可以得到最大似然估计值:


对于任何成功次数为

，试验总数为

的伯努利试验。

连续分布，连续参数空间[编辑]

最常见的连续概率分布是正态分布，其概率密度函数如下：


现在有

个正态随机变量的采样点，要求的是一个这样的正态分布，这些采样点分布到这个正态分布可能性最大（也就是概率密度积最大，每个点更靠近中心点），其

个正态随机变量的采样的对应密度函数（假设其独立并服从同一分布）为：


或：


,这个分布有两个参数：

.有人可能会担心两个参数与上边的讨论的例子不同，上边的例子都只是在一个参数上对可能性进行最大化。实际上，在两个参数上的求最大值的方法也差不多：只需要分别把可能性

在两个参数上最大化即可。当然这比一个参数麻烦一些，但是一点也不复杂。使用上边例子同样的符号，我们有

.

最大化一个似然函数同最大化它的自然对数是等价的。因为自然对数log是一个连续且在似然函数的值域内严格递增的上凸函数。[注意：可能性函数（似然函数）的自然对数跟信息熵以及Fisher信息联系紧密。]求对数通常能够一定程度上简化运算，比如在这个例子中可以看到：


这个方程的解是

.这的确是这个函数的最大值，因为它是

里头惟一的一阶导数等于零的点并且二阶导数严格小于零。

同理，我们对

求导，并使其为零。


这个方程的解是

.

因此，其关于

的最大似然估计为：