五只猴子采得一堆桃子,半夜里第一只猴子偷偷起来把桃平均分成五分,发现还多一个,它吃了哪个桃子,还拿走其中的一份,第二只猴子起来又把桃子分成五分,还多一个,它吃了那个桃子,有拿走其中的一份,第三第四第五
2013-07-27 11:05
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题目:五只猴子采得一堆桃子,半夜里第一只猴子偷偷起来把桃平均分成五分,发现还多一个,它吃了哪个桃子,还拿走其中的一份,第二只猴子起来又把桃子分成五分,还多一个,它吃了那个桃子,有拿走其中的一份,第三第四第五只猴子都如此做了,请问这堆桃子至少有多少个?
解答:
设开始有x个桃子,可以把x写成(x+4)-4.
第一个猴子来了,吃掉1个,还有桃子(x+4)-4-1=(x+4)-5,若想恰好可分成5份,当且仅当5可以整除(x+4),即(x+4)是5的倍数。
第一个猴子藏掉一份后,剩下的桃子为:(4/5)×[(x+4)-5]=(4/5)×(x+4)-4。
同样,第二个猴子来了,一吃一藏之后,剩下的桃子数为 :(4/5)×[(4/5)×(x+4)-5]。由于(4/5)×(4/5)×(x+4)是整数,故(x+4)应是5×5=25的倍数。
如此一来,五个猴子一吃一藏,恰好剩下 (4/5)×(4/5)× (4/5)×(4/5) ×(4/5) ×(x+4)-5个桃子,故(x+4)必须是5×5×5×5×5的倍数,即x+4=5^5
所以: x=3125-4=3121
即开始最少有3121个桃子.
解答:
设开始有x个桃子,可以把x写成(x+4)-4.
第一个猴子来了,吃掉1个,还有桃子(x+4)-4-1=(x+4)-5,若想恰好可分成5份,当且仅当5可以整除(x+4),即(x+4)是5的倍数。
第一个猴子藏掉一份后,剩下的桃子为:(4/5)×[(x+4)-5]=(4/5)×(x+4)-4。
同样,第二个猴子来了,一吃一藏之后,剩下的桃子数为 :(4/5)×[(4/5)×(x+4)-5]。由于(4/5)×(4/5)×(x+4)是整数,故(x+4)应是5×5=25的倍数。
如此一来,五个猴子一吃一藏,恰好剩下 (4/5)×(4/5)× (4/5)×(4/5) ×(4/5) ×(x+4)-5个桃子,故(x+4)必须是5×5×5×5×5的倍数,即x+4=5^5
所以: x=3125-4=3121
即开始最少有3121个桃子.
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