Segment Tree介绍与使用

首先，看如下事例：

假设有数组 A[0..n-1]，我们可以进行如下操作：

（1）求范围[ l, r ]间元素之和。0<=l<=r<=n-1；记为 Query 操作；

（2）更新某位置 i 处值，A[i] = new_val， 0<=i<=n-1；记为 Update 操作；

简单直观方法，就是遍历数组，可知此时（1）时间复杂度O(n)，（2）时间复杂度O(1)。这种方法对于多更新操作的有利。

另一方法，创建新数组B，其中B[i]=SUM(A[0]..A[i])，0<=i<=n-1。此时（1）时间复杂度O(1），（2）时间复杂度O(n)。这种方法对于多查询操作的有利。

那么当两类操作差不多的情况下。有没有好的方法的呢？这里就引出了Segment Tree 的数据结构，通过使用它，我们可以将两类操作的时间复杂度都控制在O(lgn)。

Segment Tree 的表示描述如下：

1.叶节点中存储了数组中元素。

2.中间节点中存储了表述部分叶节点 Merge 后节点，不同使用场景下，Merge含义不同。上例中，Merge的含义就是叶节点求和。

Segment Tree 数据结构的实现，通常以数组方式来组织表示，对于下标为 i 的节点，其左孩子下标为 2*i +1，右孩子下标为 2*i +2。父节点的下标为

。

例子：数组 { 1，3， 5， 7， 9， 11 }，更新位置值和查询任意区间和。建立 Segment Tree 如下，



如何针对给定数组建立 Segment Tree？

对于数组段 arr[0...n-1]，每次我们将当前段分为二等分。递归地进行下去，直到当前段长度为1，处理每段时我们在相应节点存储和值。

建立Segment Tree每层（除了叶节点层）都是满的，也就是该树可以看着是完全二叉树（完全二叉树 + n个叶节点），所以Segment

Tree总节点数目为 2*n + 1。（n个叶节点+ n-1个中间节点）。树的高度为

。由于以数组来表示树结构，需要开辟的数组的大小为


。

查询给定范围的和？

树建立后，可以使用如下算法来获取范围和。

int getSum( node, l, r)

{

if range of node is within l and r

return value in node

else if range of node is completely outside l and r

return 0

else

return getSum(node's left child, l ,r ) + getSum(node's right child, l , r)

}

如何更新值？

同建树算法，和查询算法一样，递归的更新。对于给定要更新值的下标 i，令 diff = new_val - old_val。从根节点开始，对于所有 i 在节点的 range of node。

node值加diff。不在节点代表range中， 不进行更新。

void upDate(node , i, diff)

{

if i within range of node

node.value = node.value + diff;

upDate( node's left child, i, diff );

upDate( node's right child, i, diff );

}

实现代码如下：