康托展开和状态压缩

      康托展开的公式

把一个整数X展开成如下形式：

X=a
*(n-1)!+a[n-1]*(n-2)!+...+a[i]*(i-1)!+...+a[2]*1!+a[1]*0!

其中，a为整数，并且0<=a[i]<i(1<=i<=n)

康托展开的应用实例

{1,2,3,4,...,n}表示1,2,3,...,n的排列如 {1,2,3} 按从小到大排列一共6个。123 132 213 231 312 321 。

代表的数字 1 2 3 4 5 6 也就是把10进制数与一个排列对应起来。

他们间的对应关系可由康托展开来找到。

如我想知道321是{1,2,3}中第几个大的数可以这样考虑 ：

第一位是3，当第一位的数小于3时，那排列数小于321 如 123、 213 ，小于3的数有1、2 。所以有2*2!个。再看小于第二位2的：小于2的数只有一个就是1 ，所以有1*1!=1 所以小于321的{1,2,3}排列数有2*2!+1*1!=5个。所以321是第6个大的数。 2*2!+1*1!+0*0!就是康托展开。

再举个例子：1324是{1,2,3,4}排列数中第几个大的数：第一位是1小于1的数没有，是0个 0*3! 第二位是3小于3的数有1和2，但1已经在第一位了，所以只有一个数2 1*2! 。第三位是2小于2的数是1，但1在第一位，所以有0个数 0*1! ，所以比1324小的排列有0*3!+1*2!+0*1!=2个，1324是第三个大数。

康托展开的代码实现

int encode(int t[8]) //康托展开，状态压缩
{
int fact[] = {1, 1, 2, 6, 24, 120, 720, 5040, 40320}; //8!的阶乘表
int result = 0;
for(int i = 0 ; i < 8 ; i ++)
{
int count = 0;
for(int j = i + 1 ; j < 8 ; j ++)
if(t[i] > t[j])
count ++;
result += count * fact[7 - i];
}
return result;
}

比较

8位数若不使用康托展开，将需要8^8 = 16777216B = 16M的内存大小，而用康托展开，则压缩为8！= 40320B = 40K的内存大小