首尾相连数组的最大子数组和

分类： C语言 算法 ACM2013-07-22
09:27 122人阅读 评论(0) 收藏 举报

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前言

这是昨晚参加九度oj的7月份月赛碰到的题目，很有意思，今早查了一下，原来《编程之美》中已经讲过类似题目，看来我把《剑指offer》看完之后，下一本书就是《编程之美》了，今天6点起床想看会英语，可惜还是搞算法了

题目

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题目描述：

给定一个由N个整数元素组成的数组arr，数组中有正数也有负数，这个数组不是一般的数组，其首尾是相连的。数组中一个或多个连续元素可以组成一个子数组，其中存在这样的子数组arr[i],…arr[n-1],arr[0],…,arr[j]，现在请你这个ACM_Lover用一个最高效的方法帮忙找出所有连续子数组和的最大值（如果数组中的元素全部为负数，则最大和为0，即一个也没有选）。

输入：

输入包含多个测试用例，每个测试用例共有两行，第一行是一个整数n（1=<n<=100000），表示数组的长度，第二行依次输入n个整数（整数绝对值不大于1000）。

输出：

对于每个测试用例，请输出子数组和的最大值。

样例输入：

6

1 -2 3 5 -1 2

5

6 -1 5 4 -7

样例输出：

10

14

这里以 arr[6] = {1, -2, 3, 5, -1, 2}为例做介绍

首尾不相连最大子数组和

这是典型的动态规划题目，假设sum[i]为前i个数据的最大子数组和，则得到状态转移方程为：



有了状态转移方程，代码很容易实现（c语言）

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/**

* 首尾不相连

*/

int maxSumNoConnect(int *arr, int n)

{

int i, max, *sum;

sum = (int *)malloc(sizeof(int) * n);

sum[0] = max = arr[0];

for (i = 1; i < n; i ++) {

if (sum[i - 1] > 0)

sum[i] = arr[i] + sum[i - 1];

else

sum[i] = arr[i];

if (sum[i] > max) max = sum[i];

}

free(sum);

return max;

}

可以看到，这里我们用了O(n)的辅助数组sum，可以考虑直接简化辅助空间，代码如下：

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int maxSumNoConnectOne(int *arr, int n)

{

int i, max, sum;

max = sum = arr[0] > 0 ? arr[0] : 0;

for (i = 1; i < n; i ++) {

if ((arr[i] + sum) > 0) {

sum += arr[i];

max = max > sum ? max : sum;

} else {

sum = 0;

max = max > arr[i] ? max : arr[i];

}

}

return max;

}

首尾相连最大和子数组

如果数组是首尾相邻的，可以分成两种情况来讨论：

（1） 如果最大和子数组没有跨过首元素，则可以用原问题的解法来求解

（2）如果最大和子数组跨过了首元素，则可以继续分两种情况讨论：

1. 如果数组元素全部为正，则所有元素之和就是最大值
2. 如果数组中有负数，则最大和子数组必然不包括某些元素，而不被包括的元素中必然有最小和子数组，这样我们就可以先查找最小和子数组的最后一个点，并以下一个点为起点，利用（1）的方法循环遍历一遍数组，就可以得到最大和子数组了

图示如下：



(ps:我靠，图片画歪了，算了，大家领会精神就好)

（1）可以用上面首尾不相连的做法求解

（2）的步骤如下

最小和子数组截止坐标

典型的动态规划思想，假设sum[i]为前i个数据的最小子数组和，则得到状态转移方程为：



实现代码（c语言）

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/**

* 最小子数组和的截止坐标

*/

int indexInArrMinSum(int *arr, int n)

{

int i, loc, min, *sum;

sum = (int *)malloc(sizeof(int) * n);

min = sum[0] = arr[0];

loc = 0;

for (i = 1; i < n; i ++) {

if (sum[i - 1] > 0) {

sum[i] = arr[i];

} else {

sum[i] = arr[i] + sum[i - 1];

}

if (sum[i] < min) {

loc = i;

min = sum[i];

}

}

free(sum);

return loc;

}

循环遍历

循环遍历只要从最小和子数组截止坐标下一个位置开始即可，无非遍历时需要注意取余而已

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/**

* 首尾相连

*/

int maxSumConnect(int *arr, int n)

{

int index, i, loc, cur, max, *sum;

sum = (int *)malloc(sizeof(int) * n);

index = indexInArrMinSum(arr, n);

max = sum[(index + 1) % n] = arr[(index + 1) % n];

for (i = 2; i < n; i ++) { // 不考虑最小子数组的截止坐标了

loc = (index + i - 1) % n;

cur = (index + i) % n;

if (sum[loc] > 0) {

sum[cur] = arr[cur] + sum[loc];

} else {

sum[cur] = arr[cur];

}

if (sum[cur] > max)

max = sum[cur];

}

free(sum);

return max;

}

ac代码

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#include <stdio.h>

#include <stdlib.h>

/**

* 首尾不相连

*/

int maxSumNoConnect(int *arr, int n)

{

int i, max, *sum;

sum = (int *)malloc(sizeof(int) * n);

sum[0] = max = arr[0];

for (i = 1; i < n; i ++) {

if (sum[i - 1] > 0)

sum[i] = arr[i] + sum[i - 1];

else

sum[i] = arr[i];

if (sum[i] > max) max = sum[i];

}

free(sum);

return max;

}

/**

* 最小子数组和的截止坐标

*/

int indexInArrMinSum(int *arr, int n)

{

int i, loc, min, *sum;

sum = (int *)malloc(sizeof(int) * n);

min = sum[0] = arr[0];

loc = 0;

for (i = 1; i < n; i ++) {

if (sum[i - 1] > 0) {

sum[i] = arr[i];

} else {

sum[i] = arr[i] + sum[i - 1];

}

if (sum[i] < min) {

loc = i;

min = sum[i];

}

}

free(sum);

return loc;

}

/**

* 首尾相连

*/

int maxSumConnect(int *arr, int n)

{

int index, i, loc, cur, max, *sum;

sum = (int *)malloc(sizeof(int) * n);

index = indexInArrMinSum(arr, n);

max = sum[(index + 1) % n] = arr[(index + 1) % n];

for (i = 2; i < n; i ++) { // 不考虑最小子数组的截止坐标了

loc = (index + i - 1) % n;

cur = (index + i) % n;

if (sum[loc] > 0) {

sum[cur] = arr[cur] + sum[loc];

} else {

sum[cur] = arr[cur];

}

if (sum[cur] > max)

max = sum[cur];

}

free(sum);

return max;

}

int main(void)

{

int i, n, flag, conn_n, conn_y, *arr;

while (scanf("%d", &n) != EOF) {

arr = (int *)malloc(sizeof(int) * n);

for (i = 0, flag = 0; i < n; i ++) {

scanf("%d", arr + i);

if (*(arr + i) <= 0)

flag ++;

}

// 均为负数返回0

if (flag == n) {

printf("0\n");

continue;

}

conn_n = maxSumNoConnect(arr, n);

conn_y = maxSumConnect(arr, n);

if (conn_n < conn_y)

printf("%d\n", conn_y);

else

printf("%d\n", conn_n);

free(arr);

}

return 0;

}

/**************************************************************

Problem: 1527

User: wangzhengyi

Language: C

Result: Accepted

Time:80 ms

Memory:2084 kb

****************************************************************/