最小覆盖圆的增量算法
2013-07-22 11:33
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题意:给出平面上的一些点,要求用一个最小的圆,把所有的点包围起来。
最小覆盖圆, 增量法:
假设圆O是前i-1个点得最小覆盖圆,加入第i个点,如果在圆内或边上则什么也不做。否,新得到的最小覆盖圆肯定经过第i个点。
然后以第i个点为基础(半径为0),重复以上过程依次加入第j个点,若第j个点在圆外,则最小覆盖圆必经过第j个点。
重复以上步骤(因为最多需要三个点来确定这个最小覆盖圆,所以重复三次)。遍历完所有点之后,所得到的圆就是覆盖所有点得
最小圆。
证明可以考虑这么做:
最小圆必定是可以通过不断放大半径,直到所有以任意点为圆心,半径为半径的圆存在交点,此时的半径就是最小圆。所以上述定
理可以通过这个思想得到。这个做法复杂度是O(n)的,当加入圆的顺序随机时,因为三点定一圆,所以不在圆内概率是3/i,求出期
望可得是O(n)。
最小覆盖圆, 增量法:
假设圆O是前i-1个点得最小覆盖圆,加入第i个点,如果在圆内或边上则什么也不做。否,新得到的最小覆盖圆肯定经过第i个点。
然后以第i个点为基础(半径为0),重复以上过程依次加入第j个点,若第j个点在圆外,则最小覆盖圆必经过第j个点。
重复以上步骤(因为最多需要三个点来确定这个最小覆盖圆,所以重复三次)。遍历完所有点之后,所得到的圆就是覆盖所有点得
最小圆。
证明可以考虑这么做:
最小圆必定是可以通过不断放大半径,直到所有以任意点为圆心,半径为半径的圆存在交点,此时的半径就是最小圆。所以上述定
理可以通过这个思想得到。这个做法复杂度是O(n)的,当加入圆的顺序随机时,因为三点定一圆,所以不在圆内概率是3/i,求出期
望可得是O(n)。
#include <iostream> #include <string.h> #include <stdio.h> #include <algorithm> #include <math.h> using namespace std; const double eps=1e-8; struct Point { double x,y; }; Point p[505]; double dist(Point A,Point B) { return sqrt((A.x-B.x)*(A.x-B.x)+(A.y-B.y)*(A.y-B.y)); } /***返回三角形的外心 */ Point circumcenter(Point A,Point B,Point C) { Point ret; double a1=B.x-A.x,b1=B.y-A.y,c1=(a1*a1+b1*b1)/2; double a2=C.x-A.x,b2=C.y-A.y,c2=(a2*a2+b2*b2)/2; double d=a1*b2-a2*b1; ret.x=A.x+(c1*b2-c2*b1)/d; ret.y=A.y+(a1*c2-a2*c1)/d; return ret; } /***c为圆心,r为半径 */ void min_cover_circle(Point *p,int n,Point &c,double &r) { random_shuffle(p,p+n); c=p[0]; r=0; for(int i=1;i<n;i++) { if(dist(p[i],c)>r+eps) //第一个点 { c=p[i]; r=0; for(int j=0;j<i;j++) if(dist(p[j],c)>r+eps) //第二个点 { c.x=(p[i].x+p[j].x)/2; c.y=(p[i].y+p[j].y)/2; r=dist(p[j],c); for(int k=0;k<j;k++) if(dist(p[k],c)>r+eps) //第三个点 { //求外接圆圆心,三点必不共线 c=circumcenter(p[i],p[j],p[k]); r=dist(p[i],c); } } } } } int main() { int n; Point c; double r; while(~scanf("%d",&n)&&n) { for(int i=0;i<n;i++) scanf("%lf%lf",&p[i].x,&p[i].y); min_cover_circle(p,n,c,r); printf("%.2lf %.2lf %.2lf\n",c.x,c.y,r); } return 0; }
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