线性代数:零空间
2013-07-21 18:34
411 查看
1、矩阵零空间
对于矩阵A,所有满足AV=0,的向量V组成的集合N,可以证明N包含零向量,切对线性运算封闭,因此N是一个向量子空间,这个子空间叫做矩阵A的零空间。
求矩阵的零空间,就是求方程组 AX = 0 的解空间。
矩阵可以看做一组列向量 C1,C2,...,Cn,那么如果这组向量是线性无关的,那么AX=0的解空间只包含一个向量:零向量。反之,如果零空间包含非零向量,说明矩阵的列向量线性相关。
2、矩阵列空间
矩阵列向量所张成的空间span(C1,C2,...,Cn)叫做矩阵列空间。这个向量子空间={Ax | x取任意值}。
判断一个向量V,是否是矩阵列空间的成员,相当于判断 Ax = V,是否有解。
3、向量空间的基包含的向量个数是固定的
向量空间具有无数组基,每组基具备相同的向量个数。
证明:向量集合A={a1,a2,a3,...,an}是向量的一组基,向量集合B={b1,b2,...,bm}也是同样子空间的基,满足span(B)=span(A)。
只要能证明m>=n即可,反过来就可以证明n>=m。
第一步:构造一个新的集合B1' = {a1,b1,b2,...,bm},a1可以表示为B的线性组合,a1 = c1b1+c2b2+...+cmbm,ci必然有一个不为0,那么有bi=其他向量的线性组合,不管i的值如何,形式上我们可以将bi与b1交换,然后将b1,移除,不会影响到span(B1')。于是我们得到一个新的向量集合B1 = {a1,b2,...,bm},且span(B1)=span(A)。
第二步:构造新的集合B2‘ = {a1,a2,b2,...bm},a2 = c1a1+c2b2+...+cmbm,由于A是向量子空间的基,a2不能由a1的线性组合来表示,因此c2...cm必然不全为零,假设ci不等于0,那么bi=B2'其他向量的线性组合,不管i的值如何,形式上我们可以将bi与b2交换,于是我们得到一个新的向量集合B2 = {a1,a2,b3,...,bm},且span(B2)=span(A)。
继续上面的步骤,假设m<n,可以得到 Bm = {a1,a2,...,am},这说明an可以表示为Bm的向量组合,这是不可能的。
向量空间基所包含的向量个数也就是子空间的维度。
4、零度
矩阵零空间的度,叫做矩阵的零度。
5、矩阵列空间的基
求取矩阵列空间的基,可以把矩阵转化为简化行阶梯型,然后找出主列。简化阶梯型的主列对应的原矩阵的列就是矩阵列向量的基。
证明:1、在求矩阵零空间的时候可知,Ax=0与 rref(A)x=0有相同的解,因此简化阶梯型主列对应的原矩阵的列是线性无关的。
2、同样的道理,rref(A)x=0的解空间可以得到,对应非主列位置,不为零的解,进而可知非主列可以表示为朱列的线性组合。
对于矩阵A,所有满足AV=0,的向量V组成的集合N,可以证明N包含零向量,切对线性运算封闭,因此N是一个向量子空间,这个子空间叫做矩阵A的零空间。
求矩阵的零空间,就是求方程组 AX = 0 的解空间。
矩阵可以看做一组列向量 C1,C2,...,Cn,那么如果这组向量是线性无关的,那么AX=0的解空间只包含一个向量:零向量。反之,如果零空间包含非零向量,说明矩阵的列向量线性相关。
2、矩阵列空间
矩阵列向量所张成的空间span(C1,C2,...,Cn)叫做矩阵列空间。这个向量子空间={Ax | x取任意值}。
判断一个向量V,是否是矩阵列空间的成员,相当于判断 Ax = V,是否有解。
3、向量空间的基包含的向量个数是固定的
向量空间具有无数组基,每组基具备相同的向量个数。
证明:向量集合A={a1,a2,a3,...,an}是向量的一组基,向量集合B={b1,b2,...,bm}也是同样子空间的基,满足span(B)=span(A)。
只要能证明m>=n即可,反过来就可以证明n>=m。
第一步:构造一个新的集合B1' = {a1,b1,b2,...,bm},a1可以表示为B的线性组合,a1 = c1b1+c2b2+...+cmbm,ci必然有一个不为0,那么有bi=其他向量的线性组合,不管i的值如何,形式上我们可以将bi与b1交换,然后将b1,移除,不会影响到span(B1')。于是我们得到一个新的向量集合B1 = {a1,b2,...,bm},且span(B1)=span(A)。
第二步:构造新的集合B2‘ = {a1,a2,b2,...bm},a2 = c1a1+c2b2+...+cmbm,由于A是向量子空间的基,a2不能由a1的线性组合来表示,因此c2...cm必然不全为零,假设ci不等于0,那么bi=B2'其他向量的线性组合,不管i的值如何,形式上我们可以将bi与b2交换,于是我们得到一个新的向量集合B2 = {a1,a2,b3,...,bm},且span(B2)=span(A)。
继续上面的步骤,假设m<n,可以得到 Bm = {a1,a2,...,am},这说明an可以表示为Bm的向量组合,这是不可能的。
向量空间基所包含的向量个数也就是子空间的维度。
4、零度
矩阵零空间的度,叫做矩阵的零度。
5、矩阵列空间的基
求取矩阵列空间的基,可以把矩阵转化为简化行阶梯型,然后找出主列。简化阶梯型的主列对应的原矩阵的列就是矩阵列向量的基。
证明:1、在求矩阵零空间的时候可知,Ax=0与 rref(A)x=0有相同的解,因此简化阶梯型主列对应的原矩阵的列是线性无关的。
2、同样的道理,rref(A)x=0的解空间可以得到,对应非主列位置,不为零的解,进而可知非主列可以表示为朱列的线性组合。
相关文章推荐
- 线性代数导论5——转置-置换-向量空间R
- 线性代数 -- 矩阵空间、秩1矩阵、小世界图
- MIT线性代数第六讲-列空间和零空间
- 线性代数6——列空间和零空间
- 线性代数笔记(线性方程组、线性空间,线性变换)
- 线性代数之向量空间
- 线性代数的本质 - 02 - 线性组合、张成的空间与基
- 【线性代数公开课MIT Linear Algebra】 第十课 四个子空间
- 线性代数导论6——列空间和零空间
- MIT18.06线性代数课程笔记9:线性无关、向量拓展空间、空间的基、空间维度
- 【线性代数公开课MIT Linear Algebra】 第五课 排列矩阵、转置、向量空间与列空间
- 线性代数(一) : 线性空间
- 线性代数的本质与几何意义 02. 线性组合、张成的空间、基(3blue1brown 咪博士 图文注解版)
- 【线性代数公开课MIT Linear Algebra】 第十一课 矩阵空间和秩1矩阵
- 线性代数3-线性空间
- 线性代数复习-向量空间-线性相关-向量组的秩
- MIT_线性代数笔记_06_列空间和零空间
- 线性代数笔记-5 转置、置换、向量空间
- 线性代数(一)--什么是线性代数(兼论向量空间及其性质)
- 线性代数之三:向量空间