有12个球,其中有一个是假球,且与其它球的重量不同。用一个无法码天平称三次找出这个球,并确定比其它球重,或是轻。
2013-07-21 18:13
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将12个球分别编号为a1,a2,a3.......a10,a11,a12.
第一步:将12球分开3组,每组4个,a1~a4第一组,记为group1, a5~a8第2组,记为group2,其余第3拨,即a9~a12,记为group3;
第二步:将group1和group2放到天平两盘上,记左盘为left,右为right;这时候分两种情况:
1.若left和right平衡,即(a1,a2,a3,a4)= (a5,a6,a7,a8)。此时可以确定从a1到a8都是常球;然后把right拿空,并从left上拿下a4,从a9到a12四球里随便取三球,假设为a9到a11,放到right上。此时left上是a1到a3,right上是a9到a11。从这里又分三种情况:
A:天平平衡,即(a1,a2,a3)= (a9,a10,a11),说明没有放上去的a12就是异球,而到此步一共称了两次,所以将a12随便跟11个常球再称一次,也就是第三次,马上就可以确定a12是重还是轻;
B:若left上升,即(a1,a2,a3)< (a9,a10,a11),则这次称说明异球为a9到a11三球中的一个,而且是比常球重。取下left盘中所有的球,并将a9放到left盘上,将a10取下,比较a9和a11(第三次称),如果平衡则说明从right上取下的a10是偏重异球,如果不平衡,则偏向哪盘则哪盘里放的就是偏重异球;
C:若left下降,即(a1,a2,a3)> (a9,a10,a11),说明a9到a11里有一个是偏轻异球。这种情况和B类似,所以接下来的步骤照搬B就是;
2.若left和right不平衡,这时候又分两种情况,left上升和left下降,但是不管哪种情况都能说明a9到a12是常球。这步是解题的关键。也是这个题最妙的地方。
A:left上升,即(a1,a2,a3,a4)< (a5,a6,a7,a8)。此时不能判断异球在哪盘也不能判断是轻还是重。取下left中的a2到a4三球放一边,将right中的a5和a6放到left上,然后将常球a9放到right上。至此,left上是(a1,a5,a6),right上是(a7,a8, a9)。此时又分三种情况:
1)如果平衡,即(a1,a5,a6) = (a7,a8, a9)。说明天平上所有的球都是常球,异球在从left上取下a2到a4中。而且可以断定异球轻重。因为a5到a8都是常球,而第1次称的时候left是上升的,所以a2到a4里必然有一个轻球。那么第三次称就用来从a2到a4中找到轻球。这很简单,随便拿两球放到left和right,平衡则剩余的为要找球,不平衡则哪边低则哪个为要找球;
2)若left仍然保持上升,即(a1,a5,a6) <(a7,a8, a9)。则说明或者a1是要找的轻球,或者a7和a8两球中有一个是重球。为什么呢?因为a9是常球,而取下的a2到a4肯定也是常球,还可以推出换盘放置的a5和a6也是常球。所以要么a1轻,要么a7或a8重。至此,还剩一次称的机会。只需把a7和a8放上两盘,平衡则说明a1是要找的偏轻异球,如果不平衡,则哪边高说明哪个是偏重异球;
3)如果换球称第2次后天平平衡打破,并且left降低了,即(a1,a5,a6) >(a7,a8, a9)。这说明异球肯定在换过来的a5和a6两球中,并且异球偏重,否则天平要么平衡要么保持left上升。确定要找球是偏重之后,将a5和a6放到两盘上称第3次根据哪边高可以判定a5和a6哪个是重球;
B:第1次称后left是下降的,即即(a1,a2,a3,a4)> (a5,a6,a7,a8)。此时可以将left看成right,其实以后的步骤都同A,所以就不必要再重复叙述了。至此,不管情况如何,用且只用三次就能称出12个外观手感一模一样的小球中有质量不同于其他11球的偏常的球。而且在称的过程中可以判定其是偏轻还是偏重。
第一步:将12球分开3组,每组4个,a1~a4第一组,记为group1, a5~a8第2组,记为group2,其余第3拨,即a9~a12,记为group3;
第二步:将group1和group2放到天平两盘上,记左盘为left,右为right;这时候分两种情况:
1.若left和right平衡,即(a1,a2,a3,a4)= (a5,a6,a7,a8)。此时可以确定从a1到a8都是常球;然后把right拿空,并从left上拿下a4,从a9到a12四球里随便取三球,假设为a9到a11,放到right上。此时left上是a1到a3,right上是a9到a11。从这里又分三种情况:
A:天平平衡,即(a1,a2,a3)= (a9,a10,a11),说明没有放上去的a12就是异球,而到此步一共称了两次,所以将a12随便跟11个常球再称一次,也就是第三次,马上就可以确定a12是重还是轻;
B:若left上升,即(a1,a2,a3)< (a9,a10,a11),则这次称说明异球为a9到a11三球中的一个,而且是比常球重。取下left盘中所有的球,并将a9放到left盘上,将a10取下,比较a9和a11(第三次称),如果平衡则说明从right上取下的a10是偏重异球,如果不平衡,则偏向哪盘则哪盘里放的就是偏重异球;
C:若left下降,即(a1,a2,a3)> (a9,a10,a11),说明a9到a11里有一个是偏轻异球。这种情况和B类似,所以接下来的步骤照搬B就是;
2.若left和right不平衡,这时候又分两种情况,left上升和left下降,但是不管哪种情况都能说明a9到a12是常球。这步是解题的关键。也是这个题最妙的地方。
A:left上升,即(a1,a2,a3,a4)< (a5,a6,a7,a8)。此时不能判断异球在哪盘也不能判断是轻还是重。取下left中的a2到a4三球放一边,将right中的a5和a6放到left上,然后将常球a9放到right上。至此,left上是(a1,a5,a6),right上是(a7,a8, a9)。此时又分三种情况:
1)如果平衡,即(a1,a5,a6) = (a7,a8, a9)。说明天平上所有的球都是常球,异球在从left上取下a2到a4中。而且可以断定异球轻重。因为a5到a8都是常球,而第1次称的时候left是上升的,所以a2到a4里必然有一个轻球。那么第三次称就用来从a2到a4中找到轻球。这很简单,随便拿两球放到left和right,平衡则剩余的为要找球,不平衡则哪边低则哪个为要找球;
2)若left仍然保持上升,即(a1,a5,a6) <(a7,a8, a9)。则说明或者a1是要找的轻球,或者a7和a8两球中有一个是重球。为什么呢?因为a9是常球,而取下的a2到a4肯定也是常球,还可以推出换盘放置的a5和a6也是常球。所以要么a1轻,要么a7或a8重。至此,还剩一次称的机会。只需把a7和a8放上两盘,平衡则说明a1是要找的偏轻异球,如果不平衡,则哪边高说明哪个是偏重异球;
3)如果换球称第2次后天平平衡打破,并且left降低了,即(a1,a5,a6) >(a7,a8, a9)。这说明异球肯定在换过来的a5和a6两球中,并且异球偏重,否则天平要么平衡要么保持left上升。确定要找球是偏重之后,将a5和a6放到两盘上称第3次根据哪边高可以判定a5和a6哪个是重球;
B:第1次称后left是下降的,即即(a1,a2,a3,a4)> (a5,a6,a7,a8)。此时可以将left看成right,其实以后的步骤都同A,所以就不必要再重复叙述了。至此,不管情况如何,用且只用三次就能称出12个外观手感一模一样的小球中有质量不同于其他11球的偏常的球。而且在称的过程中可以判定其是偏轻还是偏重。
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