NIM(1) 一排石头的游戏

11.NIM(1)一排石头的游戏

NIM(1) 一排石头的游戏

N块石头排成一行,每块石头有各自固定的位置,两个玩家一次取石头每个玩家每次可以取其中任意一块石头,或者相邻的两块石头,石头在游戏过程中不能移位(即编号不会改变),最后能将剩下的石头一次取光的玩家获胜.

如果是你先取,这个游戏有必胜的策略么?(这一问书上已给解答)

很显然,有.

<1,1>表示有两块石头,都未被取走,<1,0,1>表示有3块石头,其中中间的那块被取走,用0表示被取走,1表示未被取走.以此类推.

假设有N块石头.

如果是1,2块石头,你一次便可取完.

如果是3块石头,你只要取中间一块,便成<1, 0, 1>的局势,对方只能取剩余的两块中的一块,最后一块就属你.

如果是4块,你只要取中间相邻两块,剩下的跟上面一样.

如果是5块,你只要取中间一块,剩下左边两块,右边两块.表示为<1 1 0 1 1>.剩下两部,总的未被取走的是2的倍数个.这时候是对手取,你要保证你最后取完,你只要跟着对手取就可以,具体是:你只要在以中心线为对称轴,在与对手所取的位置对称的地方取相同的个数就可以.其实很简单,因为剩余的是2的倍数个,按照那样取(对手取多少,你就取多少),最后你们两人都取走一半的石头,因为是对手先取的,所以最后取的当然就是你.

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从第五块已经得出结论了:

对于N块石头,你只要在中心取走1块(N为奇数)或2块(N为偶数),然后以中心线为对称轴,在与对手所取的石头的位置对称的地方取相同的石头,你就能赢.简单点,就是你先在中心取一个或两个石头,保证石头的左半部分与右半部分相同数目,然后对手在哪部分取石头,你只要在另一部分取一模一样的石头(位置,数目相等),剩下的就是等赢.

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这是书上的解答,然后又引出了扩展问题:

若规定最后取光石头的人输,又该如何应对呢(还有必胜的策略么?)?

仍然用<1,1,1,1>这种形式来表示石头.仍然是你先取.

如果是1块,你必输.

如果是2块,你赢.你可以在边角取走一块,然后便成为:这时候只剩1块石头,对手先取.这样就成1块石头的情况,结果当然是对手输

如果是3块,你赢.你可以在边角取走两块,然后便成为:这时候只剩1块石头,对手先取.......

如果是4块,你必输.石头是<1,1,1,1>.如果你从边角取走一块或相邻两块,那么局势便成为:这时候只剩3块(<1,1,1>)或2块(<1,1>),而对手先取,由2块或3块的结论便知道对手肯定赢.如果你从中间取1块,那么成为<1,1,0,1>,对手只要取走2块,你就输,如果你取走中间两块,那么便成为<1,0,0,1>对手只要取走1块,你便输.

如果是5块呢?你必赢.因为你可以从边角取走一块,然后局势便成为只剩下4块<1,1,1,1>,而这时候是对手取,从4块结论便可以知道对手会输.

从第5块已经可以有点推论了.

对于N块石头,N足够大.便有以下结论:

如果N块石头你必输的话,那么N+1,N+2你必赢.因为你可以取走边角的1块或2块,然后就剩下了N块石头,并且是对手取,对手必然会输.

那么对N+3呢?不知道.

仍然是N块的时候输.对N-1,跟N-2,结果是必然赢,可以用反证法,假设N-1是输的.那么(N-1)+1必然赢,也就是N块是赢的,矛盾了.所以N-1必赢,N-2也类似.

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可以得出的结论:

如果N是必输,那么:

你:N-1 赢 对手:N-1必输,(这里对手能保证使自己输,证明可以跟上面类似的证明.下同)

N-2 赢 N-2必输

N 必输 N必赢

N+1赢 N+1必输

N+2赢 N+2必输

于是:

1输 2赢 3赢 4输....可以得出的是:1+3k为输, 2+3k跟3+3k为赢.

输表示对手可以控制,使你拿走走后的块,赢就表示你可以控制,使对手拿走最后的块,除非你放水.

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难的是如何实际操作:

设N = 3K + 1,(也就是前面证出的你必输的情况).对手该如何操作来赢.

如果你从边角取走1块或2块,留给对手的便是N-1,N-2并且是连续的,对手就取2块或1块,使石头剩余N-3并且连续,这时候N - 3 = 3(K -1) + 1,你仍然是输的局势.也就是说,如果你从边角取,对手赢是必然的.所以你想赢(虽然结果是输),剩余的路就只有从中间取(不一定是中心).

那只有两种分支了:

!!!第一种,你从中间(不一定是最中心)取1块.

写出石头阵<.....1......>,只列出了其中的你要取的那1块.设左边部分为A(左边的省略号),右边部分哦为B. A跟B的数目会有以下几种形式:

(1)A = 3P, B = 3Q

(2)A = 3P + 1, B = 3Q - 1 = 3(Q-1) + 2

(3)A = 3P + 2, B = 3Q - 2 = 3(Q-1) + 1

(1)这种形式,对手只要在你取的那一块的左边或右边取走2块,就赢.假设取走A中的2块,因为剩下的局势是

A = 3P - 2 = 3(P -1) + 1, B = 3Q,这时候是你取,如果从A那部分下手,对手是可以保证让你最后取完,在你取完A中的部分后,接下来便是对手取,局势就是,剩余3Q块,对手先取,由前面的结论,对手必然赢.如果你从B那部分下手,由前面的结论,对手是可以保证最后取完的是对手,然后就是你先取剩下的A那部分,由前面的结论,你仍然输.

剩下的(2),(3)中类似.

有人说我可以从A取一点,等对手取,对手取后再从B取一点啊?这样想:有两块饼干A,B,两个人吃,每人每次只能掰1/4块饼干吃,谁吃到最后的1/4块就算赢,规定你先吃.你从A吃一点,然后又从B吃一点,这样能改变结果么?其实,这改变的知识吃的步骤,可能本来第2步的动作你放到第3步去做...对结果并无影响.取石头也一样.

!!!第二种,你从中间(不一定是最中心)取2块.这种其实跟第一种(取1块)一样.不同的是第一种对手要取2块,而第二种对手只取1块就可以.

还有个问题,就是你拿完1块后,剩下A跟B部分,你是怎么确定拿完的顺序的?其实很简单,你可以从比较小的数字N开始证明(比如N=7,这时候A跟B都是很小的).其实这个证明是个归纳证明.你已经知道1块石头输,2块赢,3块赢,4块输,那么你就能推出7(因为推7块用到的都是1,2,3,4块的情况),然后继续往下推,不就可以推到无限的么?

又有个问题,当剩余A跟B部分后,我可以先拿A或B中中间的石头啊,比如拿A的中间的石头,这样不就剩余3部分了么?你把A当作整体看,问题就解决了.实在想不通,其实就是又将上面的证明一遍.

具体的步骤就是:

N = 3K + 1.对手赢:如果你从边上拿,对手就从你拿的位置的邻近的地方拿走相应的块数,保持剩余的石头的个数为3P + 1个,对手就赢.如果你从中间拿,对手就从你拿的位置的左右拿相应的块数,使总数保持3P + 1,并且剩余两部分,一部分为3的倍数个(另一部分当然就是3的倍数加1个).

对于N = 3K + 2,你赢.你从边上拿走1块石头,就转化为:留下N = 3K + 1,让对手拿,对手也就必输了.

对于N = 3K + 3,你赢.你从边上拿走2块石头,................................................

3. 扩展2

3.1 题目

若两个人轮流取一堆石头，每人每次最少取1块石头，最多取K块石头，最后取光石头的人赢得此游戏。

3.2 解答

1）极端情况：K>=N

玩家A可以直接取掉所有石头，获得胜利。

2) 一般情况：K<N

这里面有个规律，就是，无论一个玩家拿了多少个石头，另一个玩家都能够选择相应的石头数量，使得两个玩家一起拿K+1个石头。

从上面这个思路，我们考虑N与K+1之间的数值关系：

N = (K+1) * c + d，其中c>=1，d>=0

当d!=0时，玩家A先取d-1个石头，这样还剩(K+1)*c+1个石头。然后轮到玩家B取石头，不管玩家B取了多少个石头，玩家A都再取相应

的石头，使得玩家A和玩家B一起取(K+1)个石头，这样，还剩(K+1)*(c-1)+1个石头，如此往复，最后，肯定会剩下1个石头等着A来取。

举例说明：

剩余石头数目 取石头

(K+1) * c + d A取d-1个

(K+1) * c + 1 B取X个，A取(K+1-X)个

(K+1) * (c-1) + 1 ...

... ...

1 A取得最后一个石头

0

当d=0时，无论A取多少个石头，B取相应的石头，使得A和B一起取(K+1)个石头，这样最后取到石头的肯定是玩家B。

举例说明：

剩余石头数目 取石头

(K+1) * c A取X个,B取(K+1-X)个

(K+1) * (c-1) ...

... ...

K+1 A取X个,B取(K+1-X)个

0

即N%(K+1)=0时，玩家B有必胜策略，N%(K+1)!=0时，玩家A有必胜策略。

可以看出来，如果K很大的话，而N的数值是随机的话，先手的优势是很明显的。