堆排序

1. 问题描述



2. 堆

        （二叉）堆数据结构是一种数组对象，它的每个元素包含一个键

，满足下述的性质：对于数组中的位置


（其中


，  

为数组元素个数）



        当满足（1）时，称为大顶堆；当满足（2）时，称为小顶堆。
        堆的逻辑结构是一棵完全二叉树。树中的每个结点与数组中的元素对应，树中任一非叶子结点的键值都不小于或不大于其左右孩子的键值。如图1所示：



图1 一个大顶堆可被看做 (a)一棵二叉树  (b)一个数组
        如果树根在数组中的位置为1，则数组中位置为


的结点的左右孩子结点在数组中的位置分别为 

  和

，其父结点的位置为

。（后续伪代码考虑的是这种情况）
        如果树根在数组中的位置为0，则数组中位置为


的结点的左右孩子结点在数组中的位置分别为

和

，其父结点的位置为

。（后续的C++代码考虑的是这种情况）。

3. 算法思想

        堆排序反映了社会阶层中的强弱次序的树结构，以大顶堆为例。将公司管理的组织结构想象成一棵树（大顶堆），树的顶部是总裁，往下职位依次降低。当总裁退休时，副总裁竞争总裁的职位，其中有一位会获得提升成为新的总裁，他原来的职位将成为空缺，此空缺由其下一级雇员竞争，依次进行下去，直到没有职位空缺，形成新的公司组织结构树（大顶堆）。现在假设这个公司总是通过给总裁发放养老金使其退休，因此在顶部出现职位空缺，其余雇员竞争这个职位，最后会形成一个新的树（大顶堆）。依次进行总裁退休这个过程，最后整个组织结构中只剩一个人。

        堆排序思想与上述过程类似，基本流程如下：
                建堆：将待排序数组中的数据建成一个大顶堆，

。
                交换：将堆中第一个元素和最后一个元素交换，并将堆的长度减1，即

。
                保持：注意到此时堆的性质已被破坏，于是再将其调整成一个大顶堆（此过程称为保持大顶堆的性质）。   
                依次执行上述过程，直到堆的长度为1，结束。此时数组中的数据即已从小到大排序。
        注意：数组的长度 n 和堆的长度

 是不同的概念，一般

。

4. 伪代码实现







5. C++实现
















6. 算法复杂度分析

    时间复杂度：



    空间复杂度为

。

    不稳定排序算法。