线性代数(五) ：子空间及向量张成的空间

理解线性组合及向量张成的空间是理解线性无关，子空间，维数和基等等的基础。能更一步加深对线性空间的认识

1 子空间

(1) 子空间的定义

线性空间X的一个子集Y称为子空间,如果Y中元素的和与数乘仍属于Y。

(注意子空间中一定包含零向量,很容易用反证法证明)

下面是子空间的例子：

(i) 二维空间中过原点的直线,三维空间中过原点的平面和直线都是子空间.：



很容易想出上图中的平面和直线上的向量做数乘和加法运算还是平面或者直线上  ,并且他们都经过原点，因此他们都是R^3下的子空间.

(ii)全体行向量（a1，...,an）(aj∈ 

)
所构成的集合，

Y是首末分量均是零的全体向量所构成的集合（很容易验证）

(2)子空间的性质

(i)线性空间X的两个子集Y和Z的和是全体形如y+z(y∈Y,z∈Z)的向量所构成的集合.

记做Y+Z. 若Y和Z均为X的线性子空间。则Y+Z也是。

(ii)线性空间X的两个子集Y和Z的交是所有公共向量所构成的集合，记做Y∩Z.

若Y和Z均为X的线性子空间。则Y∩Z也是。

(iii)由线性空间X的零元素所构成的集合{0}是X的子空间

叫做平凡子空间(trivial subspace)。

以上三条性质很容易证明，这里不做证明

2 线性组合

线性空间X中的一个向量组x1,x2,...,xj的一个线性组合(linear combination)是

具有下列形式的一个向量：

k1x1 + k2x2 +,...,+kjxj  ；  k1,...,kj∈K(K是X的域)

3 向量组张成空间

(1)如果任意x∈X都可以表示成X中的向量x1,x2,...,xm的线性组合,

则称x1,x2,...,张成(span)整个空间X

下边是例子：

(i)零向量张成平凡子空间

(ii)二维平面上的任意非零向量张成一条直线

(2)x1,x2,...,xj的所有的线性组合是X的一个子空间（记做A）这个空间称为由

x1,x2,...,xj张成的子空间.这个空间是X中包含x1,...,xj的最小的子空间.

下边给出这个最小性的证明作为本节的结束：

假设空间A不是包含x1,...,xj的最小的子空间.

则存在更小的子空间B包含x1,...,xj并且存在一个向量a∈A

且a∉B.由于B是线性子空间。由子空间定义可知x1,...,xj的所有线性组合

仍属于B.这就与a∉B矛盾（因为a也是x1,...,xj的一个线性组合）.

因此可知A是包含x1,...,xj的最小的线性子空间.

给定一个子空间。如何找出可以张成这个空间的向量组？

这个向量组有几个向量？这些在下节介绍.