基础微积分后记（Epilogue）读后有感

7月10日，美国J.Keisler教授《基础微积分》的后记（Epilogue），经历了三十多年漫长的历史岁月，终于和中国的广大读者见面了。这一天是值得我们大家庆贺的。为什么呢？

记得，在1976年，一位朋友从美国带回J.Keisler教授的《Elementary
Calculus：An
Infinitesimal Approach》，紫红色的封面，书很厚，我们激动万分。这本书启迪了我的数学良知，拓展了我的数学视野。由此，萌生了向国内读者介绍、推荐此书的感情冲动。

今年2月24日，我在“微积分袖珍电子书，互联网传播无阻挡”一文中提出一个问题：在我们国内，每天都有数百万大学生在苦苦攻读微积分（现代数学的最核心部分）。随便找一位在校大学生问他（她）一个问题：微积分学里面有没有逻辑矛盾（或导致自相矛盾）？为什么？能够正确回答的学生凤毛麟角，多数会哑口无言。为什么会这样呢？答曰：国内现行微积分学教材体系陈旧，本身太软，软里巴几无能也。

在《基础微积分》的后记里面（第911页），J.Keisler首先列举了实数系R的公理体系，即代数公理、次序公理和完备性公理等，然后利用有理数的哥西序列构造一个数学结构，使其满足上述公理系统，从而保证了实数系R的无矛盾性，因为，我们大家都认为，有理数系已经建立在牢固的逻辑基础之上了，不会自含矛盾。也就是说，如果实数系R发现了逻辑矛盾(或自相冲突)，那么，有理数系也会存在矛盾。

反观我们国内，高等微积分学教材一般不涉及公理体系以及无矛盾性问题。那么，我们的大学生有关微积分学的理论知识怎么可能是牢固的呢？由此，使我们想到将J.Keisler的《基础微积分》拆分成系列袖珍电子书，投放到互联网上，令其传播四面八方，日久天长，影响至深。互联网传播无人可挡，任凭烧香、诅咒也不管用。

实数系R无矛盾，利用同样的方法（或思路）可以证明：超实数系*R也无矛盾。也就是说，作为超实数的无穷小和无穷大也不会给微积分带来逻辑矛盾。我们把具有无穷小以及无穷大的现代微积分演算引进到我们国内，何罪之有呢？陈旧不堪的微积分教材难道不该尽快改革吗？

今天为什么值得我们大家庆贺呢？因为，无论你在何时，无论你在何处，只要你搜索关键字“基础微积分后记”，J.Keisler教授的基础微积分后记的原文“Epilogue”就会摆在你的眼前。有了英文原文，中译文就好办了。