埃及分数 把一个分数分解成n个 m分之一的形式

【贪心算法】

设a、b为互质正整数，a<b 分数a/b 可用以下的步骤分解成若干个单位分数之和：

步骤一： 用b 除以a，得商数q1 及余数r1。（r1=b - a*q1）

步骤二：把a/b 记作：a/b=1/(q1+1）+(a-r)/b(q1+1）

步骤三：重复步骤2，直到分解完毕

3/7=1/3+2/21=1/3+1/11+1/231

13/23=1/2+3/46=1/2+1/16+1/368

以上其实是 数学家 斐波那契提出的一种求解 埃及分数 的贪心算法，准确的算法表述应该是这样的：

设某个真分数的分子为a，分母为b;

把b除以a的商部分加1后的值作为埃及分数的某一个分母c；

将a乘以c再减去b，作为新的a；

将b乘以c，得到新的b；

如果a大于1且能整除b，则最后一个分母为b/a；算法结束；

或者，如果a等于1，则，最后一个分母为b；算法结束；

否则重复上面的步骤。

备注：事实上，后面判断a是否大于1和a是否等于1的两个判断可以合在一起，及判断b%a是否等于0，最后一个分母为b/a，显然是正确的。





实现代码

#include <stdio.h>
int main(void)
{
  int a,b,c;
  while(scanf("%d/%d",&a,&b)!=EOF)
  {
    // printf("%d/%d=",a,b);
    while(a!=1)
    {
      c = b/a+1;
      a = a*c-b;
      b = b*c;
      printf("1/%d + ",c);
      //if(a>1)
      //printf("");
      if( (b % a == 0) || (a==1) )
      {
        printf("1/%d",b/a);
        a = 1;
      }
    }
    printf("\n");
  }
  return 0;
}

或者下面的

#include<stdio.h>
int main()
{
  long long  a,b,c;
  while(scanf("%lld/%lld",&a,&b)!=EOF)
  {
  //	printf("Please enter a optional fraction(a/b):");
    //; /*输入分子a和分母b*/
  //	printf("It can be decomposed to:");
    while(1)
    {
      if(b%a) /*若分子不能整除分母*/
        c=b/a+1; /*则分解出一个分母为b/a+1的埃及分数*/
      else{ c=b/a; a=1;} /*否则，输出化简后的真分数(埃及分数)*/
      if(a==1)
      {
        printf("1/%lld\n",c);
        break; /*a为1标志结束*/
      }
      else
        printf("1/%lld + ",c);
      a=a*c-b; /*求出余数的分子*/
      b=b*c; /*求出余数的分母*/
      if(a==3) /*若余数为3，输出最后两个埃及分数*/
      { printf("1/%lld + 1/%lld\n",b/2,b); break;}
    }
  }
  
  return 0;
}