线性代数(二) ： 矩阵与矩阵运算

矩阵是数学中一个非常重要的工具。也是线性代数的核心，矩阵可以抽象的表示很多东西：线性方程组，空间中的点，图像的像素，也可以是象棋的棋盘。矩阵的英文是matrix ，就是黑客帝国里那个matrix。matrix 的最早使用者为了将它与行列式区别开来而选中matrix这个单词。英国数学家凯莱是矩阵论的创立人。

1矩阵

通常矩阵在数学上的定义比较简单：

一個m×n的矩陣是一个由m行n列元素排列成的矩形阵列。矩陣里的元素可以是数字符号或数学式。

当行列数相等时称为 Square matrix （方阵），下边是一些矩阵（3x4  3x3  mxn）：


  

2 矩阵加法

1)  相加的矩阵行列数都要相同。否则没有意义

2)   结果返回一个相同行列数的一个矩阵。

      其每个元素的值为相加的矩阵对应元素的和下边是一个例子：

3 矩阵数乘

用一个数乘一个矩阵相当于用这个数乘矩阵的每一个元素：

4矩阵乘法

设T是mxn的矩阵S是lxm的矩阵则乘积ST是lxn的矩阵。

其(k,j) 元是S的第k行与K的第j列对应元素的乘积之和。

其中T的行数要等于S的列数这样ST 才有意义。即：



下面是一个例子：

5对于矩阵乘法补充两点说明：

1) 之所以要以这种看起来比较复杂的方式定义矩阵的乘法。是因为这种方式

定义的矩阵乘法可以处理很多问题。如线性变换的复合。方程组的求解等等。这些概念以后都会详细介绍。

2) 矩阵乘法也可以用另一种等价的方式来定义 : 列向量的线性组合(以后会说明)