2011 第二届蓝桥杯总决赛- 第三题 求1-n 的最小公倍数（n小于101）

 一、我们先考虑 当n< 41时， 结果是可以用long long 保存的。

       【1-7】的各个数因式分解是：2，3，2*2，5，2*3，7，2*2*2；最小公倍数：2*3*2   *5*    7* 2; 

1、设【1~n-1】的最小公倍数为a[n-1],如果 a[n-1]%n=0；那么a
=a[n-1]；例如[1~5] 和[1~6]；

2、否则，n这个数一定含有 必须乘到 a[n-1]上 的素因子，eg：8;

#include <stdio.h>
#include <stdlib.h>
#include <math.h>
#define maxn 15
int prime[maxn] = {2,3,5,7,11,13,17,19,23,29, 31,37,41,43};
int main()
{
int n,i,j,t,k;
long long sum[42],temp;
sum[1]=1;sum[2]=2;
for(k=2; k<=40; k++)
{
if(sum[k-1]%k)//含有多的质因子
{   temp=sum[k-1];
for(i=0; prime[i]<=k; i++)
if(k%prime[i]==0)
{temp=temp*prime[i];}
sum[k]=temp;
}
else
sum[k]=sum[k-1];
}
scanf("%d",&t);
while(t--)
{
scanf("%d",&n);
printf("%lld\n",sum
-1);
}
return 0;
}

二、考虑到1-100的最小公倍数肯定超出__int64.所以需要转化成字符串问题来解

仔细观察会发现，【1-n】的最小公倍数，是【1-n-1】的最小公倍数乘以n的所有素因子中没有被【1-n-1】包含的素因子。

例如：【1-7】的最小公倍数是2*3*2*5*7，8=2*2*2,(8中2出现3次，【1-7】的素因子中只出现2次)那么【1-8】就是2*3*2*5*7*2

思路：（1）先求出1——>n 的因子；

           （2）然后只要做一个大数乘法即可。

#include <iostream>
#include <string>
#include <cstdio>
using namespace std;
#define M 101
int factor[101];//存所有的因子；
struct  a{
int c[43];//经输出测试，最长只有42
int length;
a()//构造函数
{
length=0;
}
}ans[101];
void getfactor()
{
int i,j;
for(i=1;i<M;i++)
{
factor[i]=i;
for(j=2;j<i;j++)
if(factor[i]%factor[j]==0)
factor[i]/=factor[j];
}
}
void bigmulti()//高精度乘法
{
int f=0,i,j,b;
ans[1].c[0]=1;
ans[1].length=1;
for(i=2;i<=100;i++)
{
b=factor[i];
for(f=0,j=0;j<ans[i-1].length;j++)
{
f=ans[i-1].c[j]*b+f;
ans[i].c[j]=f%10;
f/=10;
}
while(f)
{
ans[i].c[j]=f%10;
f/=10;
j++;
}
ans[i].length=j;
}
}
void print(int i)//输出[1,n]的最小公倍数 ans

{
for(int j=ans[i].length-1;j>=0;j--)
printf("%d",ans[i].c[j]);
printf("\n");
}
int main()
{
//freopen("ans.txt","w",stdout);
getfactor();
bigmulti();
int n;
while(cin>>n)
print(n);
return 0;
}

问题拓展：

1.判断1到n连续n个数的最小公倍数与1到n-1连续n-1个数的最小公倍数是否相等

思路：判断n是不是素数？ （1）如果不是素数，找到一个i<=sqrt（n）的约数，判断  gcd（（n/i)，i)==1，那么输出YES；（2）否则，是素数，那么结果是NO。

代码：

#include <iostream>
#include <string>
#include <cstdio>
using namespace std;
#define LL long long
LL gcd( LL a,LL b)
{
return b==0?a:gcd(b,a%b);
}
int main()
{
LL n;
scanf("%I64d",&n);
int flag=1;
for(LL i=2; i*i<=n; i++)
if(n%i==0)
{
LL tt=gcd((n/i),i);
if(tt-1==0)
{
flag=0;
printf("YES\n");
break;
}
}
if(flag) printf("NO\n");

return 0;
}

2、hdu 2028  n个数的最小公倍数

思路：先求两个数的最大公约数，再求最小公倍数。

#include <cstdio>
#include <iostream>
using namespace std;
int Gcd(int a,int b)
{
return b==0?a:Gcd(b,a%b);
}
int main()
{
int n;
int ans,yueshu,temp;
while(cin>>n)
{
ans=1;
for(int i=0;i<n;i++)
{
scanf("%d",&temp);
yueshu=Gcd(ans,temp);
ans=temp/yueshu*ans;//先除再乘，以防溢出
}
printf("%d\n",ans);
}
return 0;
}