找到所有小于N的素数

素数问题是个博大精深的问题。我这里只是用一种“相对”高效的算法来查找所有小于某个整数的素数。首先来看一下素数的性质：

1.素数不能被除了1和本身之外所有整数整除

2.1不是素数

3.2是素数

4.除了2之外，所有素数均是奇数

算法使用的思想：小于整数N的任意合数一定可以被小于N开方的素数中其中一个整除；也就是说小于N的整数中，只要不能被小于N开方的任一素数整除，那么它就是素数。这样，根据递归思想，要求出小N的所有素数，则先求出小N开方的所有素数集合a，然后再遍历大于N开方小于N的整数分别除以集合a的所有素数，以求出大于N开方小于N的素数集合b，则a+b即为小于N的所有素数；另外，根据上述性质4，在遍历的时候可以跳过所有偶数。

复杂度分析：

时间复杂度：设小于整数n的算法复杂度为Sn，小于n的所有素数个数为an。则时间复杂度的递推公式如下



则个递推公式推起来颇为复杂，我就不算出来了，大概的数量级就是n*a根号n。由于a根号n远小于n，所以复杂度远小于n2。

C++算法如下：

#include <cstdlib>
#include <iostream>
#include <vector>
#include <math.h>
#include <ctime>

using namespace std;
vector<int> Find(int lim);
int main(int argc, char *argv[])
{

time_t b_time,e_time;
b_time = time(NULL);
vector<int> arr = Find(1440320);
e_time = time(NULL);
cout<<e_time-b_time<<endl;
cout<<arr.size()<<endl;
//for(vector<int>::iterator it=arr.begin();it!=arr.end();++it)
{
//cout<<*it<<"|";
}
system("PAUSE");
return EXIT_SUCCESS;
}

vector<int> Find(int lim)
{
//利用素数性质：任何不超过一个数的合数，必被小于这个数开方的素数整除

//小于lim的素数 集合
vector<int> arr;
//小于lim开方的素数集合
vector<int> a;
int sqLim = (int)sqrt(lim);
//if(lim > 10)
if(lim > 12)
{
a = Find(sqLim);
}
else
{
int rule[5]={2,3,5,7,11};
a.assign(rule,rule+5);
return a;
}

arr.assign(a.begin(),a.end());

if(sqLim%2==0)
sqLim++;
for(int i=sqLim;i<=lim;i+=2)
{
bool flag = true;
for(vector<int>::iterator it=a.begin();it!=a.end();++it)
{
int s=*it;
if(i%s==0)
{
flag=false;
}
}
if(flag==true)
arr.push_back(i);
}
return arr;
}