HOJ 1907 博弈

取火柴的游戏

题目1：今有若干堆火柴，两人依次从中拿取，规定每次只能从一堆中取若干根，

可将一堆全取走，但不可不取，最后取完者为胜，求必胜的方法。

题目2：今有若干堆火柴，两人依次从中拿取，规定每次只能从一堆中取若干根，

可将一堆全取走，但不可不取，最后取完者为负，求必胜的方法。

嘿嘿，这个游戏我早就见识过了。小时候用珠算玩这个游戏：第一档拨一个，第二档拨两个，依次直到第五档拨五个。然后两个人就轮流再把棋子拨下来，谁要是最后一个拨谁就赢。有一次暑假看见两个小孩子在玩这个游戏，我就在想有没有一个定论呢。下面就来试着证明一下吧

先解决第一个问题吧。

定义：若所有火柴数异或为0，则该状态被称为利他态，用字母T表示；否则，

为利己态，用S表示。

[定理1]：对于任何一个S态，总能从一堆火柴中取出若干个使之成为T态。

证明：

若有n堆火柴，每堆火柴有A(i)根火柴数，那么既然现在处于S态，

c = A(1) xor A(2) xor … xor A(n) > 0;

把c表示成二进制，记它的二进制数的最高位为第p位，则必然存在一个A(t),它二进制的第p位也是1。（否则，若所有的A(i)的第p位都是0，这与c的第p位就也为0矛盾）。

那么我们把x = A(t) xor c,则得到x < A(t).这是因为既然A(t)的第p位与c的第p位同为1,那么x的第p位变为0,而高于p的位并没有改变。所以x < A(t).而

A(1) xor A(2) xor … xor x xor … xor A(n)

= A(1) xor A(2) xor … xor A(t) xor c xor … xor A(n)

= A(1) xor A(2) xor… xor A(n) xor A(1) xor A(2) xor … xor A(n)

= 0

这就是说从A(t)堆中取出 A(t) – x 根火柴后状态就会从S态变为T态。证毕

[定理2]：T态，取任何一堆的若干根，都将成为S态。

证明：用反证法试试。

若

c = A(1) xor A(2) xor … xor A(i) xor … xor A(n) = 0；

c’ = A(1) xor A(2) xor … xor A(i’) xor c xor … xor A(n) = 0;

则有

c xor c’ = A(1) xor A(2) xor … xor A(i) xor … xor A(n) xor A(1) xor A(2) xor … xor A(i’) xor c xor … xor A(n) = A(i) xor A(i’) =0

进而推出A(i) = A(i’)，这与已知矛盾。所以命题得证。

[定理 3]：S态，只要方法正确，必赢。

最终胜利即由S态转变为T态，任何一个S态，只要把它变为T态，（由定理1，可以把它变成T态。）对方只能把T态转变为S态(定理2)。这样，所有S态向T态的转变都可以有己方控制，对方只能被动地实现由T态转变为S态。故S态必赢。

[定理4]：T态，只要对方法正确，必败。

由定理3易得。

接着来解决第二个问题。

定义：若一堆中仅有1根火柴，则被称为孤单堆。若大于1根，则称为充裕堆。

定义：T态中，若充裕堆的堆数大于等于2，则称为完全利他态，用T2表示；若充裕堆的堆数等于0，则称为部分利他态，用T0表示。

孤单堆的根数异或只会影响二进制的最后一位，但充裕堆会影响高位（非最后一位）。一个充裕堆，高位必有一位不为0，则所有根数异或不为0。故不会是T态。

[定理5]：S0态，即仅有奇数个孤单堆，必败。T0态必胜。（S1，S2表示，充组堆有1个或者2个及以上（sum1！=0）

证明：

S0态，其实就是每次只能取一根。每次第奇数根都由己取，第偶数根都由对

方取，所以最后一根必己取。败。同理, T0态必胜#

[定理6]：S1态，只要方法正确，必胜。

证明：

若此时孤单堆堆数为奇数，把充裕堆取完；否则，取成一根。这样，就变成奇数个孤单堆，由对方取。由定理5，对方必输。己必胜。 #

[定理7]：S2态不可转一次变为T0态。

证明：

充裕堆数不可能一次由2变为0。得证。 #

[定理8]：S2态可一次转变为T2态。

证明：

由定理1，S态可转变为T态，态可一次转变为T态，又由定理6，S2态不可转一次变为T0态，所以转变的T态为T2态。 #

[定理9]：T2态，只能转变为S2态或S1态。

证明：

由定理2，T态必然变为S态。由于充裕堆数不可能一次由2变为0，所以此时的S态不可能为S0态。命题得证。

[定理10]：S2态，只要方法正确，必胜.

证明：

方法如下：

1） S2态，就把它变为T2态。（由定理8）

2） 对方只能T2转变成S2态或S1态（定理9）

若转变为S2, 转向1）

若转变为S1, 这己必胜。（定理5）

[定理11]：T2态必输。

证明：同10。

综上所述，必输态有： T2,S0

必胜态： S2,S1,T0.

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#include <stdio.h>

int main(int argc, char *argv[])

{

int T,N,a[5000],i;

int sum1;//充裕堆的个数

int sum2;//孤单堆的个数

int ans;//异或

scanf("%d",&T);

while(T--)

{//这三个数字忘记赋0 ，错了三次

sum1=0;

sum2=0;

ans=0;

scanf("%d",&N);

for (i=0;i<N;i++)

{

scanf("%d",&a[i]);

if(a[i]>=2) sum1++;

else sum2++;

ans^=a[i];

}

if((ans!=0 && sum1!=0) || (ans==0) && sum1==0)

printf("John\n");

if((ans==0 && sum1>=2) || (ans!=0 && sum2%2!=0 && sum1==0)) printf("Brother\n");

}

return 0;

}