优先队列之二叉堆与d-堆

二叉堆简介

平时所说的堆，若没加任何修饰，一般就是指二叉堆。同二叉树一样，堆也有两个性质，即结构性和堆序性。正如AVL树一样，对堆的以此操作可能破坏者两个性质中的一个，因此，堆的操作必须要到堆的所有性质都被满足时才能终止。

结构性质

堆是一棵完全填满的二叉树，因为完全二叉树很有规律，所以它可以用一个数组表示而不需要指针。如下图所示，图2中的数组对应图1中的堆。





图1：二叉堆 图2：二叉堆的数组存储

对于任意位置i上的元素，其左儿子在位置2i处，右儿子在位置2i+1处，而它的父亲在i/2。因此，不仅指针这里不需要，而且遍历该树所需要的操作也十分简单。这种表示法的唯一问题在于：最大的堆大小需要事先估计，但对于典型的情况者并不成问题，图2中堆的大小是13个元素。该数组有一个位置0，用做哨兵，后面会有阐述。

因此，一个堆的数据结构将由一个数组，一个代表最大值的整数以及当前堆的大小组成。代码如下：

struct HeapStruct
{
int Capacity;
int Size;
ElementType *Elements;
};

堆序性质

使操作能快速执行的性质是堆序性。在一个堆中，对于每个节点X，X的父亲中的关键字小于(或等于)X中的关键字，根节点除外(根节点没有父亲)。图3中，左边的是堆，右边的不是(虚线表示堆序性质被破坏)。



图3：两棵完全二叉树

基本操作

Insert(插入)：

为了将一个元素X插入到堆中，我们在下一个空闲位置创建一个空穴，否则该堆将不是完全树。如果X可以放入到该空穴中，那么插入完成。否则，我们把空穴的父节点上的元素移入该空穴中，这样，空穴就朝着根的方向上行一步。继续该过程直到X能被放入到空穴中为止。图4表示，为了插入14，我们在堆的下一个可用位置建立一个空穴，由于将14插入空穴破坏了堆序性质，因此将31移入该空穴，图5继续这种策略，直到找到14的正确位置。





图4：创建一个空穴，再将空穴上冒 图5：将14插入到前面的堆中的其余两步

这种策略叫做上虑。新元素在堆中上虑直到找出正确的位置；使用如下代码，很容易实现。

void Insert( ElementType X, PriorityQueue H )
{
if (IsFull(H)){
printf("Priority queue is full!");
return;
}
int i;
for (i = ++H->Size; H->Elements[i/2] > X; i /= 2){
H->Elements[i] = H->Elements[i/2];
}
H->Elements[i] = X;
}

如果要插入的元素师新的最小值，那么它将一直被推向顶端，这样在某一时刻，i将是1，我们就需要令程序跳出while循环。当然可以通过明确的测试做到这一点。不过，这里采用的是把一个很小的值放到位置0处以使while循环终止，这个值必须小于堆中的任何值，称之为标记或哨兵。这类似于链表中头结点的使用。通过添加的这个标记，避免了每次循环都要执行一次测试，这是简单的空间换时间策略。

DeleteMin(删除最小元)：

找出最小元是很容易的；困难的部分是删除它。当删除一个最小元时，在根节点处产生了一个空穴。由于现在堆少了一个元素，因此对中最后一个元素X必须移到该堆的某个地方。如果X可以被放入空穴中，那么DeleteMin完成。不过这一般都不可能，因此我们将空穴的两个儿子中较小者移入空穴中，这样就把空穴向下推了一层，重复该步骤，知道X可以被放入空穴中。因此，我们的做法是将X置入沿着从根开始包含最小儿子的一条路径上的一个正确的位置。

图6显示DeleteMin之前的堆，删除13之后，我们必须要正确的将31放到堆中，31不能放在空穴中，因为这将破坏堆序性质，于是，我们把较小的儿子14置入空穴，同时空穴向下滑一层，重复该过程，把19置入空穴，在更下一层上建立一个新的空穴，然后26置入空穴，在底层又建立一个新的空穴，最后，我们得以将31置入空穴中。这种策略叫做下虑。





图6 在根处建立空穴 图7：将空穴下滑一层



[align=center] 图8：空穴移到底层，插入31[/align]

代码实现

头文件：binheap.h

typedef int ElementType;

#ifndef _BINHEAP_H
#define _BINHEAP_H

struct HeapStruct;
typedef struct HeapStruct *PriorityQueue;

PriorityQueue Initialize( int MaxElements );
void Destroy( PriorityQueue H );
void MakeEmpty( PriorityQueue H );
void Insert( ElementType X, PriorityQueue H );
ElementType DeleteMin( PriorityQueue H );
ElementType FindMin( PriorityQueue H );
int IsEmpty( PriorityQueue H );
int IsFull( PriorityQueue H );

#endif

实现文件：binheap.c

#include "binheap.h"
#include <stdlib.h>
#include <stdio.h>

#define MinPQSize 10
#define MinData -32767

struct HeapStruct
{
int Capacity;
int Size;
ElementType *Elements;
};

PriorityQueue Initialize( int MaxElements )
{
if (MaxElements < MinPQSize){
printf("Priority queue is too small!\n");
return NULL;
}
PriorityQueue H;
H = malloc(sizeof(struct HeapStruct));	//为整个堆分配空间，其实大小只有12字节
if (H == NULL){                         //两个int共8个字节，加上指针4个字节
printf("Out of space!");
return NULL;
}
H->Elements = malloc(sizeof(ElementType) * (MaxElements + 1));   //为该指针指向的数组分配空间
if (H->Elements == NULL){
printf("Out of space!");
return NULL;
}
H->Capacity = MaxElements;
H->Size = 0;
H->Elements[0] = MinData;	//留出一个元素，作为哨兵;
return H;
}

void MakeEmpty( PriorityQueue H )
{
H->Size = 0;
}

void Insert( ElementType X, PriorityQueue H )
{
if (IsFull(H)){
printf("Priority queue is full!");
return;
}
int i;	//若位置0没有存放标记，那么for循环的判断条件该改为：H->Elements[i/2] > X && i != 0
for (i = ++H->Size; H->Elements[i/2] > X; i /= 2){	//遍历所有非树叶节点（在位置i/2处），比较它的值与X的大小
H->Elements[i] = H->Elements[i/2];              //若X大于它，表明X可以作为它的新孩子，否则，就进行上虑
}
H->Elements[i] = X;
}

ElementType DeleteMin( PriorityQueue H )
{
if (IsEmpty(H)){
printf("Priority queue is full!");
return H->Elements[0];
}
int i, child;
ElementType MinElement, LastElement;
MinElement = H->Elements[1];
LastElement = H->Elements[H->Size--];

for (i = 1; i * 2 < H->Size; i = child){		//还是遍历所有的非树叶节点
child = i * 2;
if (child != H->Size && H->Elements[child] > H->Elements[child+1])
++child;								//找出每个节点的最小儿子
if (LastElement > H->Elements[child])       //若最后一个值比这个最小儿子还要小，表明它可以放入空穴中，
H->Elements[i] = H->Elements[child];    //作为这个最小儿子的新父亲，若比它大，表明最后一个
else                                        //值不能放入这个空穴中，空穴下移
break;
}
H->Elements[i] = LastElement;
return MinElement;
}

ElementType FindMin( PriorityQueue H )
{
if (!IsEmpty(H)){
return H->Elements[1];	//位置0存放的是标记，值为-32767
}
printf("Priority queue is Empty!");
return H->Elements[0];
}

int IsFull( PriorityQueue H )
{
return H->Size == H->Capacity;
}

int IsEmpty( PriorityQueue H )
{
return H->Size == 0;
}

void Destroy( PriorityQueue H )
{
free(H->Elements);
free(H);
}

d-堆

二叉堆因为实现简单，因此在需要优先队列的时候几乎总是使用二叉堆。d-堆是二叉堆的简单推广，它恰像一个二叉堆，只是所有的节点都有d个儿子（因此，二叉堆又叫2-堆）。下图表示的是一个3-堆。注意，d-堆要比二叉堆浅得多，它将Insert操作的运行时间改进为

。然而，对于大的d，DeleteMin操作费时得多，因为虽然树浅了，但是d个儿子中的最小者是必须找到的，如果使用标准算法，将使用d-1次比较，于是将此操作的时间提高到


。如果d是常数，那么当然两种操作的运行时间都为 O(logN)。虽然仍可以使用一个数组，但是，现在找出儿子和父亲的乘法和除法都有个因子d，除非d是2的幂，否则会大大增加运行时间，因为我们不能再通过二进制移位来实现除法和乘法了。D-堆在理论上很有趣，因为存在许多算法，其插入次数比删除次数多得多，而且，当优先队列太大不能完全装入内存的时候，d-堆也是很有用的，在这种情况下，d-堆能够以与B-树大致相同的方式发挥作用。

除了不能执行Find操作外（指以对数执行），堆的实现最明显的两个缺点是：将两个堆合并成一个堆是很困难的。这种附加的操作叫做Merge。存在许多实现堆的方法使得Merge操作的运行时间为O(logN)，如下篇介绍的左式堆。