数论整理
2013-06-18 15:35
176 查看
数论整理；
集合：确定性，唯一性，无序性；
整数集合：Z ={... ,-1,0,1,....}
自然数：N = {0,1,2...}
整除性：d|a d--除数，a - 被除数；
平凡约数：1和自身（相对于对象）
非平凡约数：
素数/质数（prime）：
合数:
除法定理：对任意整数a 和任意正整数n,存在唯一的整数q 和r,满足0<=r<n,并且a = qn +r
商：q=floor(a/n);
余数：r = a mod n = r - q*n;
数的划分；
1 根据余数，可以把整数划分为n个等价类。（复杂结构简单化，便于分类讨论，特定子集可能有新的特性）
[a]n = {a+kn:k属于integer};interpratation：所有除以n的余数为a的整数b；（a=b(mod n)）
因为n的余数只有0，..,n-1 则可以分为n类；
等价类：Zn = {[a]n:0<=a<n-1}
公约数：d|a and d|b -> d is a and b's the common dividor
generalization：d|(xa+yb)
夹逼原理：a|b and b|a -> a =|b|
a|b ->|b| >= |a|
最大公约数：(1)不存在更大（2）比所有都大；
约数交集的最大值；
property:
1,与正负号无关：
2，零与任何数的最大公约数是数本身，1与任何数的最大公约数是1；
3，任何数和他的倍数长度最大公约数是他自身；
theorem:如果a 和b 是不都为0的任意整数，则gcd(a,b) 是 a 与 b线性组合的最小正元素；
证明：（1）gcd是a的约数
（2）gcd是b的约数
（3）最大的约数
推理：a与b的任意个公共约数c,都都可以c|gcd（a,b）
对于所有的整数a和b以及任意的非负整数n, gcd(a*n,b*n)= n*gcd(a,b);
类似的：对于一个素数c,c|a, c不能整除b则gcd(a/c,b) = gcd(a,b);
对于所有的正整数n,a 和b,如果 n|ab 并且gcd(a,n),则n|b;
互质数：gcd（a,b）=1; 数学总是由单个点，向向量，矩阵的结构关系转化；
如果 gcd(c,p)=1,gcd(b,p)=1,则gcd(ab,p) = 1.
对于所有的素数p 和所有的整数 a,b,如果p|ab,则p|a 或者p|b
唯一的质因子分解；
无穷多个素数；
GCD递归定理：
斐波那契级数：a>=b+(a mod b)
->lame 定理；如果b<Fk+1，则Eulid递归调用次数少于k次；
欧几里得算法的推广形式：(d,x,y) = (d',y',x'-floor(a/b)*y')
模运算：群（s,operator）
1）封闭性：
2）单元性：单位元 e operator a =a
3)结合性；
4）逆元
交换群：满足交换律：
有限群
数论-中国剩余定理
分类： 算法和数据结构学习 2010-02-03 22:01 91人阅读 评论(0) 收藏 举报
久闻剩余定理大名，也略懂一二。。
不过今天认真学习了下。。留下此贴，以记之。
参考：http://eblog.cersp.com/userlog/7978/archives/2008/723693.shtml
http://book.51cto.com/art/200812/102579.htm
例1：一个数被3除余1，被4除余2，被5除余4，这个数最小是几？
题中3、4、5三个数两两互质。
则〔4，5〕=20；〔3，5〕=15；〔3，4〕=12；〔3，4，5〕=60。
为了使20被3除余1，用20×2=40；
使15被4除余1，用15×3=45；
使12被5除余1，用12×3=36。
然后，40×1＋45×2＋36×4=274，
因为，274>60，所以，274－60×4=34，就是所求的数。
例2：一个数被3除余2，被7除余4，被8除余5，这个数最小是几？
题中3、7、8三个数两两互质。
则〔7，8〕=56；〔3，8〕=24；〔3，7〕=21；〔3，7，8〕=168。
为了使56被3除余1，用56×2=112；
使24被7除余1，用24×5=120。
使21被8除余1，用21×5=105；
然后，112×2＋120×4＋105×5=1229，
因为，1229>168，所以，1229－168×7=53，就是所求的数。
例3：一个数除以5余4，除以8余3，除以11余2，求满足条件的最小的自然数。
题中5、8、11三个数两两互质。
则〔8，11〕=88；〔5，11〕=55；〔5，8〕=40；〔5，8，11〕=440。
为了使88被5除余1，用88×2=176；
使55被8除余1，用55×7=385；
使40被11除余1，用40×8=320。
然后，176×4＋385×3＋320×2=2499，
因为，2499>440，所以，2499－440×5=299，就是所求的数。
例4：有一个年级的同学，每9人一排多5人，每7人一排多1人，每5人一排多2人，问这个年级至少有多少人 ？（幸福123老师问的题目）
题中9、7、5三个数两两互质。
则〔7，5〕=35；〔9，5〕=45；〔9，7〕=63；〔9，7，5〕=315。
为了使35被9除余1，用35×8=280；
使45被7除余1，用45×5=225；
使63被5除余1，用63×2=126。
然后，280×5＋225×1＋126×2=1877，
因为，1877>315，所以，1877－315×5=302，就是所求的数。
例5：有一个年级的同学，每9人一排多6人，每7人一排多2人，每5人一排多3人，问这个年级至少有多少人 ？（泽林老师的题目）
题中9、7、5三个数两两互质。
则〔7，5〕=35；〔9，5〕=45；〔9，7〕=63；〔9，7，5〕=315。
为了使35被9除余1，用35×8=280；
使45被7除余1，用45×5=225；
使63被5除余1，用63×2=126。
然后，280×6＋225×2＋126×3=2508，
因为，2508>315，所以，2508－315×7=303，就是所求的数。
（例5与例4的除数相同，那么各个余数要乘的“数”也分别相同，所不同的就是最后两步。）
先写出一个两位数62，接着在62右端写这两个数字的和为8，得到628，再写末两位数字2和8的和10，得到62810，用上述方法得到一个有2006位的整数：628101123……，则这个整数的数字之和是（ ）。
（2006-5）÷10=200....1
17+35*200+1=7018
前面的62810数字和为17
后面开始，以“1123581347”为循环节
共循环10次，每次的和为35
最后余1，就加上1
所以结果是17+35*200+1=7018
例子：PKU 1006
因为只有三个数23 28 33 且三个数两两互为质数，所以“中国剩余定理”可知
对于每一组输入数据p, e ,i, d，所求结果为：n = (R1*p + R2*e + R3*i)%21252-d
其中 R1%p=1, R2%e=1, R3%i=1;
R1 = 5544 = 28*33* 6; //28 33 的公倍数中能被23除余1的最小整数
R2 = 14221 = 23*33*19; //23 33 的公倍数中能被28除余1的最小整数
R3 = 1288 = 23*28* 2; //23 28 的公倍数中能被33除余1的最小整数
为了保证结果大于等于1且小于等于21252，结果修正为：n = (R1*p + R2*e + R3*i - d + 21252)%21252，并且如果n为0，则n = 21252为所求。
集合：确定性，唯一性，无序性；
整数集合：Z ={... ,-1,0,1,....}
自然数：N = {0,1,2...}
整除性：d|a d--除数，a - 被除数；
平凡约数：1和自身（相对于对象）
非平凡约数：
素数/质数（prime）：
合数:
除法定理：对任意整数a 和任意正整数n,存在唯一的整数q 和r,满足0<=r<n,并且a = qn +r
商：q=floor(a/n);
余数：r = a mod n = r - q*n;
数的划分；
1 根据余数，可以把整数划分为n个等价类。（复杂结构简单化，便于分类讨论，特定子集可能有新的特性）
[a]n = {a+kn:k属于integer};interpratation：所有除以n的余数为a的整数b；（a=b(mod n)）
因为n的余数只有0，..,n-1 则可以分为n类；
等价类：Zn = {[a]n:0<=a<n-1}
公约数：d|a and d|b -> d is a and b's the common dividor
generalization：d|(xa+yb)
夹逼原理：a|b and b|a -> a =|b|
a|b ->|b| >= |a|
最大公约数：(1)不存在更大（2）比所有都大；
约数交集的最大值；
property:
1,与正负号无关：
2，零与任何数的最大公约数是数本身，1与任何数的最大公约数是1；
3，任何数和他的倍数长度最大公约数是他自身；
theorem:如果a 和b 是不都为0的任意整数，则gcd(a,b) 是 a 与 b线性组合的最小正元素；
证明：（1）gcd是a的约数
（2）gcd是b的约数
（3）最大的约数
推理：a与b的任意个公共约数c,都都可以c|gcd（a,b）
对于所有的整数a和b以及任意的非负整数n, gcd(a*n,b*n)= n*gcd(a,b);
类似的：对于一个素数c,c|a, c不能整除b则gcd(a/c,b) = gcd(a,b);
对于所有的正整数n,a 和b,如果 n|ab 并且gcd(a,n),则n|b;
互质数：gcd（a,b）=1; 数学总是由单个点，向向量，矩阵的结构关系转化；
如果 gcd(c,p)=1,gcd(b,p)=1,则gcd(ab,p) = 1.
对于所有的素数p 和所有的整数 a,b,如果p|ab,则p|a 或者p|b
唯一的质因子分解；
无穷多个素数；
GCD递归定理：
斐波那契级数：a>=b+(a mod b)
->lame 定理；如果b<Fk+1，则Eulid递归调用次数少于k次；
欧几里得算法的推广形式：(d,x,y) = (d',y',x'-floor(a/b)*y')
模运算：群（s,operator）
1）封闭性：
2）单元性：单位元 e operator a =a
3)结合性；
4）逆元
交换群：满足交换律：
有限群
数论-中国剩余定理
分类： 算法和数据结构学习 2010-02-03 22:01 91人阅读 评论(0) 收藏 举报
久闻剩余定理大名，也略懂一二。。
不过今天认真学习了下。。留下此贴，以记之。
参考：http://eblog.cersp.com/userlog/7978/archives/2008/723693.shtml
http://book.51cto.com/art/200812/102579.htm
例1：一个数被3除余1，被4除余2，被5除余4，这个数最小是几？
题中3、4、5三个数两两互质。
则〔4，5〕=20；〔3，5〕=15；〔3，4〕=12；〔3，4，5〕=60。
为了使20被3除余1，用20×2=40；
使15被4除余1，用15×3=45；
使12被5除余1，用12×3=36。
然后，40×1＋45×2＋36×4=274，
因为，274>60，所以，274－60×4=34，就是所求的数。
例2：一个数被3除余2，被7除余4，被8除余5，这个数最小是几？
题中3、7、8三个数两两互质。
则〔7，8〕=56；〔3，8〕=24；〔3，7〕=21；〔3，7，8〕=168。
为了使56被3除余1，用56×2=112；
使24被7除余1，用24×5=120。
使21被8除余1，用21×5=105；
然后，112×2＋120×4＋105×5=1229，
因为，1229>168，所以，1229－168×7=53，就是所求的数。
例3：一个数除以5余4，除以8余3，除以11余2，求满足条件的最小的自然数。
题中5、8、11三个数两两互质。
则〔8，11〕=88；〔5，11〕=55；〔5，8〕=40；〔5，8，11〕=440。
为了使88被5除余1，用88×2=176；
使55被8除余1，用55×7=385；
使40被11除余1，用40×8=320。
然后，176×4＋385×3＋320×2=2499，
因为，2499>440，所以，2499－440×5=299，就是所求的数。
例4：有一个年级的同学，每9人一排多5人，每7人一排多1人，每5人一排多2人，问这个年级至少有多少人 ？（幸福123老师问的题目）
题中9、7、5三个数两两互质。
则〔7，5〕=35；〔9，5〕=45；〔9，7〕=63；〔9，7，5〕=315。
为了使35被9除余1，用35×8=280；
使45被7除余1，用45×5=225；
使63被5除余1，用63×2=126。
然后，280×5＋225×1＋126×2=1877，
因为，1877>315，所以，1877－315×5=302，就是所求的数。
例5：有一个年级的同学，每9人一排多6人，每7人一排多2人，每5人一排多3人，问这个年级至少有多少人 ？（泽林老师的题目）
题中9、7、5三个数两两互质。
则〔7，5〕=35；〔9，5〕=45；〔9，7〕=63；〔9，7，5〕=315。
为了使35被9除余1，用35×8=280；
使45被7除余1，用45×5=225；
使63被5除余1，用63×2=126。
然后，280×6＋225×2＋126×3=2508，
因为，2508>315，所以，2508－315×7=303，就是所求的数。
（例5与例4的除数相同，那么各个余数要乘的“数”也分别相同，所不同的就是最后两步。）
先写出一个两位数62，接着在62右端写这两个数字的和为8，得到628，再写末两位数字2和8的和10，得到62810，用上述方法得到一个有2006位的整数：628101123……，则这个整数的数字之和是（ ）。
（2006-5）÷10=200....1
17+35*200+1=7018
前面的62810数字和为17
后面开始，以“1123581347”为循环节
共循环10次，每次的和为35
最后余1，就加上1
所以结果是17+35*200+1=7018
例子：PKU 1006
因为只有三个数23 28 33 且三个数两两互为质数，所以“中国剩余定理”可知
对于每一组输入数据p, e ,i, d，所求结果为：n = (R1*p + R2*e + R3*i)%21252-d
其中 R1%p=1, R2%e=1, R3%i=1;
R1 = 5544 = 28*33* 6; //28 33 的公倍数中能被23除余1的最小整数
R2 = 14221 = 23*33*19; //23 33 的公倍数中能被28除余1的最小整数
R3 = 1288 = 23*28* 2; //23 28 的公倍数中能被33除余1的最小整数
为了保证结果大于等于1且小于等于21252，结果修正为：n = (R1*p + R2*e + R3*i - d + 21252)%21252，并且如果n为0，则n = 21252为所求。
内容来自用户分享和网络整理，不保证内容的准确性，如有侵权内容，可联系管理员处理 