分治法的应用-排队购票，餐盘放苹果问题

一：问题描述，一场球赛开始前，售票正在进行。每张球票的价格为50元，现在有30个人排队等待购票，其中有20个人手持50元的钞票，另外10个人手持100元的钞票。假设开始售票时售票处没有零钱，求出这30人排队购票，使售票处不会出现找不开钱的局面的不同排队方案。特别要说的是：拿着同样面值的钞票的人对换位置后为同一排队方案。

二：分析

额，这题目貌似容易陷入排列组合中去

考虑一般情形，有m+n个人排队购票，其中有m个人手持50元的钞票，另外n个人手持100元的钞票。求出这m+n个人排队购票，是售票员不会出现找不开钱局面的排队方案。

令f(m,n)表示有m个人手持50元，n个人手持100元的钞票时共有的方案总数。分三种情况来讨论这个问题

1）n=0时，这意味这所有的人都是50元的钞票，所以f(m,n)=1;

2)m<n;此时意味着排队购票肯定会出现零钱不够的现象，因此f(m,n)=0;

3)其他情况，第m+n个人站在第m+n-1个人的后面，则第m+n个人的排队方式可由下列两种情况获得：

  a)第m+n个人手持100元的钞票，则在它之前的m+n-1个人有m个人手持50元，和n-1个人手持100元钞票，此种情况有f(m,n-1)种

  b)第m+n个人手持50元的钞票，则在此之前的n+n-1个人有m-1个人手持50元，和n个人手持100元钞票，此种情况有f(m-1,n)种

可以得到递归关系f(m,n) = f(m,n-1)+f(m-1,n)

边界条件：

当m<n时，f(m,n)=0;

n=0时，f(m,n)=1;

三：实现

实现起来有递归实现，和非递归实现（更快）

1 #include <stdio.h>
2
3 long fu(int i,int j){
4     long re;
5     if(j==0)
6         re = 1;
7     else if(i<j)
8         re = 0;
9     else
10         re = fu(i-1,j)+fu(i,j-1);
11     return re;
12 }
13
14 int main(){
15     long result = fu(20,10);
16     printf("%ld\n",result);
17     return 0;
18 }

非递归实现：

1 #include <iostream>
2 using namespace std;
3 int main(){
4     int m,n,i,j;
5     long f[100][100];
6     cout<<"input m,n"<<endl;
7     cin>>m>>n;
8
9     for(int j=1;j<=m;j++)
10         f[j][0] = 1;
11     for(j=0;j<=m;j++)
12         for(i=j+1;i<=n;i++)
13             f[j][i] = 0;
14
15     for(i=1;i<=n;i++)
16         for(j=i;j<=m;j++)
17             f[j][i] = f[j-1][i]+f[j][i-1];
18
19     cout<<"f("<<m<<","<<n<<")="<<f[m]
<<endl;
20     return 0;
21 }

个人以为算法也是熟能生巧的过程，准备题海战术了。

四：扩展

同原理，类似的题目也有：整数划分问题（将正整数表示成一系列正整数之和）也是寻找递归关系式。

我在分析一个放苹果问题：

问题描述：把M个同样的苹果放在N个同样的盘子里，允许有的盘子空着不放，共有多少种不同的分法？注意5，1，1和1，5，1是同一种分法

算法分析：所有不同的摆放方法可以分为两类：至少有一个盘子空着，和所有盘子都不空。

对于至少空着一个盘子的情况，则N个盘子摆放M个苹果的摆放方法数目与N-1个盘子摆放M个苹果的摆放方法数目相同。对于所有盘子都不为空的情况，则N个盘子摆放M个苹果的摆放方法数目等于N个盘子摆放M-N个苹果的摆放数目。

设f(m,n)为m个苹果，n个盘子的方法数目，则先对n讨论，如果n>m，则必有n-m个盘子永远空着，去掉它们对苹果的摆放不存在影响，即f(m,n)=f(m,m)

当n<=m时，不同的方法可以分为两类：即至少有一个盘子空着，和所有盘子都不空。前者相当f(m,n-1)。后者可以从每个盘子中去掉一个苹果不影响不同方法的数目，即f(m,n)=f(m,n-1)+f(m-n,n)因此很适合递归程序。

问题往往泛化分析好像还更清晰。