算法导论-14-1-最大重叠点

算法导论-14-1-最大重叠点

分类： 算法导论2012-08-27
20:21 479人阅读 评论(0) 收藏 举报

题目：

假设希望对一组区间记录一个最大重叠点，亦即覆盖它的区间最多的那个点。

a)证明：最大重叠点总存在于某段的端点上。

b)设计一数据结构，能有效地支持操作INTERVAL-INSERT,INTERVAL-DELETE和返回最大重叠点操作FIND-POM。（提示：将所有端点组织成红黑树。左端点关联+1值，而右端点关联-1值。附加一些维护最大重叠点的信息以扩张树中结点。）

思考：

设有n个区间，将所有2n个点从小到大排序，对于排序后的第i个点，若它是某个区间的左端点，则p[i]=1，若它是某个区间的右端点，则p[i]=-1。由第一问可知，所求的点一定是某条线段的端点，所以从端点集合中找出被最多区间覆盖的那个。若一个端点是排序后的第i个点，则有个SUM(s[1],s[i])个区间覆盖这个点。

使用红黑树对所有的端点进行动态排序并保证有较好的性质，在树的结点中增加一些顺序统计量的信息，用于求SUM(s[1],s[i])

步骤1：基础数据结构

红黑树，p[x]=1表示它是区间的左端点，p[x]=-1表示它是区间的右端点

步骤2：附加信息

v[x]：以x为根的所有结点的p值之和

m[x]：MAX(SUM([left[x], i))

o[x]：以x为根的所有结点中的最大覆盖点

步骤3：对信息的维护



步骤4：设计新的操作

Find_Pom()：返回根结点的p值

代码：

[cpp] view
plaincopy

#include <iostream>

using namespace std;

#define BLACK 0

#define RED 1

//红黑树结点结构

struct node

{

//红黑树的基础结构

node *left;

node *right;

node *parent;

int key;

bool color;

int p;//1：左端点；-1：区间右端点

//附加信息

int v;

int m;

int o;

node(node *init, int k)

:left(init),right(init),parent(init),key(k),color(BLACK),v(0),m(0),o(k){}

};

//红黑树结构

struct Red_Black_Tree

{

node *root;//根结点

node *nil;//哨兵

Red_Black_Tree(){nil = new node(NULL, -1);root = nil;};

};

int max(int a, int b, int c)

{

if(a > b)

return a > c ? a : c;

else

return b > c ? b : c;

}

//对附加信息的维护

void Maintaining(node *x)

{

while(x->key >= 0)

{

x->v = x->left->v + x->p + x->right->v;

x->m = max(x->left->v,

x->left->v + x->p,

x->left->v + x->p + x->right->m);

if(x->left->key != -1 && x->m == x->left->v)

x->o = x->left->o;

else if(x->right->key != -1 && x->m == x->left->v + x->p + x->right->m)

x->o = x->right->o;

else

x->o = x->key;

x = x->parent;

}

}

//左旋，令y = x->right, 左旋是以x和y之间的链为支轴进行旋转

//涉及到的结点包括：x,y,y->left，令node={p,l,r},具体变化如下：

//x={x->parent,x->left,y}变为{y,x->left,y->left}

//y={x,y->left,y->right}变为{x->parent,x,y->right}

//y->left={y,y->left->left,y->left->right}变为{x,y->left->left,y->left->right}

void Left_Rotate(Red_Black_Tree *T, node *x)

{

//令y = x->right

node *y = x->right;

//按照上面的方式修改三个结点的指针，注意修改指针的顺序

x->right = y->left;

if(y->left != T->nil)

y->left->parent = x;

y->parent = x->parent;

if(x->parent == T->nil)//特殊情况：x是根结点

T->root = y;

else if(x == x->parent->left)

x->parent->left = y;

else

x->parent->right = y;

y->left = x;

x->parent = y;

//对附加信息的维护

Maintaining(x);

Maintaining(y);

}

//右旋，令y = x->left, 左旋是以x和y之间的链为支轴进行旋转

//旋转过程与上文类似

void Right_Rotate(Red_Black_Tree *T, node *x)

{

node *y = x->left;

x->left = y->right;

if(y->right != T->nil)

y->right->parent = x;

y->parent = x->parent;

if(x->parent == T->nil)

T->root = y;

else if(x == x->parent->right)

x->parent->right = y;

else

x->parent->left = y;

y->right = x;

x->parent = y;

//对附加信息的维护

Maintaining(x);

Maintaining(y);

}

//红黑树调整

void RB_Insert_Fixup(Red_Black_Tree *T, node *z)

{

node *y;

//唯一需要调整的情况，就是违反性质2的时候，如果不违反性质2，调整结束

while(z->parent->color == RED)

{

//parent[z]是左孩子时，有三种情况

if(z->parent == z->parent->parent->left)

{

//令y是z的叔结点

y = z->parent->parent->right;

//第一种情况，z的叔叔y是红色的

if(y->color == RED)

{

//将parent[z]和y都着为黑色以解决z和parent[z]都是红色的问题

z->parent->color = BLACK;

y->color = BLACK;

//将parent[parent[z]]着为红色以保持性质5

z->parent->parent->color = RED;

//把parent[parent[z]]当作新增的结点z来重复while循环

z = z->parent->parent;

}

else

{

//第二种情况：z的叔叔是黑色的，且z是右孩子

if(z == z->parent->right)

{

//对parent[z]左旋，转为第三种情况

z = z->parent;

Left_Rotate(T, z);

}

//第三种情况：z的叔叔是黑色的，且z是左孩子

//交换parent[z]和parent[parent[z]]的颜色，并右旋

z->parent->color = BLACK;

z->parent->parent->color = RED;

Right_Rotate(T, z->parent->parent);

}

}

//parent[z]是右孩子时，有三种情况，与上面类似

else if(z->parent == z->parent->parent->right)

{

y = z->parent->parent->left;

if(y->color == RED)

{

z->parent->color = BLACK;

y->color = BLACK;

z->parent->parent->color = RED;

z = z->parent->parent;

}

else

{

if(z == z->parent->left)

{

z = z->parent;

Right_Rotate(T, z);

}

z->parent->color = BLACK;

z->parent->parent->color = RED;

Left_Rotate(T, z->parent->parent);

}

}

}

//根结点置为黑色

T->root->color = BLACK;

}

//插入一个结点

void RB_Insert(Red_Black_Tree *T, node *z)

{

node *y = T->nil, *x = T->root;

//找到应该插入的位置，与二叉查找树的插入相同

while(x != T->nil)

{

y = x;

if(z->key < x->key)

x = x->left;

else if(z->key > x->key)

x = x->right;

}

z->parent = y;

if(y == T->nil)

T->root = z;

else if(z->key < y->key)

y->left = z;

else

y->right = z;

z->left = T->nil;

z->right = T->nil;

//将新插入的结点转为红色

z->color = RED;

//从新插入的结点开始，向上调整

RB_Insert_Fixup(T, z);

Maintaining(z);

}

//对树进行调整，x指向一个红黑结点，调整的过程是将额外的黑色沿树上移

void RB_Delete_Fixup(Red_Black_Tree *T, node *x)

{

node *w;

//如果这个额外的黑色在一个根结点或一个红结点上，结点会吸收额外的黑色，成为一个黑色的结点

while(x != T->root && x->color == BLACK)

{

//若x是其父的左结点（右结点的情况相对应）

if(x == x->parent->left)

{

//令w为x的兄弟，根据w的不同，分为三种情况来处理

//执行删除操作前x肯定是没有兄弟的，执行删除操作后x肯定是有兄弟的

w = x->parent->right;

//第一种情况：w是红色的

if(w->color == RED)

{

//改变w和parent[x]的颜色

w->color = BLACK;

x->parent->color = RED;

//对parent[x]进行一次左旋

Left_Rotate(T, x->parent);

//令w为x的新兄弟

w = x->parent->right;

//转为2.3.4三种情况之一

}

//第二情况：w为黑色，w的两个孩子也都是黑色

if(w->left->color == BLACK && w->right->color == BLACK)

{

//去掉w和x的黑色

//w只有一层黑色，去掉变为红色，x有多余的一层黑色，去掉后恢复原来颜色

w->color = RED;

//在parent[x]上补一层黑色

x = x->parent;

//现在新x上有个额外的黑色，转入for循环继续处理

}

//第三种情况，w是黑色的,w->left是红色的,w->right是黑色的

else

{

if(w->right->color == BLACK)

{

//改变w和left[x]的颜色

w->left->color = BLACK;

w->color = RED;

//对w进行一次右旋

Right_Rotate(T, w);

//令w为x的新兄弟

w = x->parent->right;

//此时转变为第四种情况

}

//第四种情况：w是黑色的,w->left是黑色的,w->right是红色的

//修改w和parent[x]的颜色

w->color =x->parent->color;

x->parent->color = BLACK;

w->right->color = BLACK;

//对parent[x]进行一次左旋

Left_Rotate(T, x->parent);

//此时调整已经结束，将x置为根结点是为了结束循环

x = T->root;

}

}

//若x是其父的左结点（右结点的情况相对应）

else if(x == x->parent->right)

{

//令w为x的兄弟，根据w的不同，分为三种情况来处理

//执行删除操作前x肯定是没有兄弟的，执行删除操作后x肯定是有兄弟的

w = x->parent->left;

//第一种情况：w是红色的

if(w->color == RED)

{

//改变w和parent[x]的颜色

w->color = BLACK;

x->parent->color = RED;

//对parent[x]进行一次左旋

Right_Rotate(T, x->parent);

//令w为x的新兄弟

w = x->parent->left;

//转为2.3.4三种情况之一

}

//第二情况：w为黑色，w的两个孩子也都是黑色

if(w->right->color == BLACK && w->left->color == BLACK)

{

//去掉w和x的黑色

//w只有一层黑色，去掉变为红色，x有多余的一层黑色，去掉后恢复原来颜色

w->color = RED;

//在parent[x]上补一层黑色

x = x->parent;

//现在新x上有个额外的黑色，转入for循环继续处理

}

//第三种情况，w是黑色的,w->right是红色的,w->left是黑色的

else

{

if(w->left->color == BLACK)

{

//改变w和right[x]的颜色

w->right->color = BLACK;

w->color = RED;

//对w进行一次右旋

Left_Rotate(T, w);

//令w为x的新兄弟

w = x->parent->left;

//此时转变为第四种情况

}

//第四种情况：w是黑色的,w->right是黑色的,w->left是红色的

//修改w和parent[x]的颜色

w->color =x->parent->color;

x->parent->color = BLACK;

w->left->color = BLACK;

//对parent[x]进行一次左旋

Right_Rotate(T, x->parent);

//此时调整已经结束，将x置为根结点是为了结束循环

x = T->root;

}

}

}

//吸收了额外的黑色

x->color = BLACK;

}

//找最小值

node *Tree_Minimum(Red_Black_Tree *T, node *x)

{

//只要有比当前结点小的结点

while(x->left != T->nil)

x = x->left;

return x;

}

//查找中序遍历下x结点的后继，后继是大于key[x]的最小的结点

node *Tree_Successor(Red_Black_Tree *T, node *x)

{

//如果有右孩子

if(x->right != T->nil)

//右子树中的最小值

return Tree_Minimum(T, x->right);

//如果x的右子树为空且x有后继y，那么y是x的最低祖先结点，且y的左儿子也是

node *y = x->parent;

while(y != NULL && x == y->right)

{

x = y;

y = y->parent;

}

return y;

}

//递归地查询二叉查找树

node *RB_Search(node *x, int k)

{

//找到叶子结点了还没找到，或当前结点是所查找的结点

if(x->key == -1 || k == x->key)

return x;

//所查找的结点位于当前结点的左子树

if(k < x->key)

return RB_Search(x->left, k);

//所查找的结点位于当前结点的左子树

else

return RB_Search(x->right, k);

}

//红黑树的删除

node *RB_Delete(Red_Black_Tree *T, node *z)

{

//找到结点的位置并删除，这一部分与二叉查找树的删除相同

node *x, *y;

if(z->left == T->nil || z->right == T->nil)

y = z;

else y = Tree_Successor(T, z);

if(y->left != T->nil)

x = y->left;

else x = y->right;

x->parent = y->parent;

if(y->parent == T->nil)

T->root = x;

else if(y == y->parent->left)

y->parent->left = x;

else

y->parent->right = x;

Maintaining(y->parent);

if(y != z)

{

z->key = y->key;

z->p = y->p;

Maintaining(z);

}

//如果被删除的结点是黑色的，则需要调整

if(y->color == BLACK)

RB_Delete_Fixup(T, x);

return y;

}

//求最大覆盖点

int Find_Pom(Red_Black_Tree *T)

{

return T->root->o;

}

int main()

{

//生成一棵树

Red_Black_Tree *T = new Red_Black_Tree;

char ch;

int start, end;

node *ret;

while(1)

{

cin>>ch;

switch (ch)

{

//插入一个区间

case 'I':

{

start = rand() % 100;

end = rand() % 100;

if(start > end)

swap(start, end);

cout<<start<<' '<<end<<endl;

//若端点已存在，不需要再加入，只需要对p做+1或-1操作

ret = RB_Search(T->root, start);

if(ret != T->nil)

ret->p++;

//若端点不存在，则加入

else

{

ret = new node(T->nil, start);

ret->p = 1;

RB_Insert(T, ret);

}

//对右端点操作相似

ret = RB_Search(T->root, end);

if(ret != T->nil)

ret->p--;

else

{

ret = new node(T->nil, end);

ret->p = -1;

RB_Insert(T, ret);

}

//输出结果

cout<<Find_Pom(T)<<endl;

break;

}

//删除一个区间，即做与插入相反的操作

case 'D':

cin>>start>>end;

ret = RB_Search(T->root, start);

if(ret != T->nil)

{

//左端对应的结点p-1

ret->p--;

if(ret->p == 0)

RB_Delete(T, ret);

}

ret = RB_Search(T->root, end);

if(ret != T->nil)

{

//右端对应的结点p+1

ret->p++;

if(ret->p == 0)

RB_Delete(T, ret);

}

//输出结果

cout<<Find_Pom(T)<<endl;

break;

}

}

return 0;

}