01背包问题

http://blog.csdn.net/jiahui524/article/details/6656342





问题描述：

有N件物品和一个容量为V的背包。第i件物品的重量是c[i]，价值是w[i]。求解将哪些物品装入背包可使这些物品的重量总和不超过背包容量，且价值总和最大。



问题特点：每种物品仅有一件，可以选择放或不放。（0：不放 1：放）



基本思路：

这是最基础的背包问题，用子问题定义状态：即f[i][v]表示前i件物品恰放入一个容量为v的背包可以获得的最大价值。则其状态转移方程便是：f[i][v]=max{f[i-1][v],f[i-1][v-c[i]]+w[i]} 。 可以压缩空间，f[v]=max{f[v],f[v-c[i]]+w[i]} 　　这个方程非常重要，基本上所有跟背包相关的问题的方程都是由它衍生出来的。所以有必要将它详细解释一下：“将前i件物品放入容量为v的背包中”这个子问题，若只考虑第i件物品的策略（放或不放），那么就可以转化为一个只牵扯前i-1件物品的问题。如果不放第i件物品，那么问题就转化为“前i-1件物品放入容量为v的背包中”，价值为f[i-1][v]；如果放第i件物品，那么问题就转化为“前i-1件物品放入剩下的容量为v-c[i]的背包中”，此时能获得的最大价值就是f
[i-1][v-c[i]]再加上通过放入第i件物品获得的价值w[i]。

注意f[v]有意义当且仅当存在一个前i件物品的子集，其费用总和为v。所以按照这个方程递推完毕后，最终的答案并不一定是f
[V]，而是f
[0..V]的最大值。如果将状态的定义中的“恰”字去掉，在转移方程中就要再加入一项f[v-1]，这样就可以保证f
[V]就是最后的答案。至于为什么这样就可以，由你自己来体会了。



代码实现：



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#include<stdio.h>



#include<string.h>



#define MINUSINF 0x80000000



#define MAXN 100



#define MAXV 1000







int max(int a,int b)



{



return a>b?a:b;



}



//n件物品和一个容量为v的背包。第i件物品的费用是c[i]，价值是w[i]，装满与否要求为full



//算法1：经典DP二维数组解法，时间复杂度及空间复杂度均为O(nv)



int ZeroOnePack1(int n,int v,int c[],int w[],int full)



{



int i,j;



int f[MAXN][MAXV];



if(full){



for(i=0;i<=n;i++)



for(j=0;j<=v;j++)



f[i][j]=MINUSINF;



f[0][0]=0;



}



else {



memset(f,0,sizeof(f));



}



for(i=1;i<=n;i++){



for(j=0;j<=v;j++){



if(j>=c[i])



f[i][j]=max(f[i-1][j],f[i-1][j-c[i]]+w[i]);



else f[i][j]=f[i-1][j];



}



}



if(f
[v]<0) return -1;



else return f
[v];



}







//算法2：算法1的一维数组解法，时间复杂度为O(nv)，空间复杂度为O(v)



int ZeroOnePack2(int n,int v,int c[],int w[],int full){



int i,j;



int f[MAXV];



if(full){



f[0]=0;



for(i=1;i<=v;i++)



f[i]=MINUSINF;



}



else{



memset(f,0,sizeof(f));



}



for(i=1;i<=n;i++){



for(j=v;j>=0;j--){



if(j>=c[i])



f[j]=max(f[j],f[j-c[i]]+w[i]);



}



}



if(f[v]<0) return -1;



else return f[v];



}



//算法3：算法2的优化，去掉了无必要的判断，时间复杂度为O(nv)，空间复杂度为O(v)



int ZeroOnePack3(int n,int v,int c[],int w[],int full){



int i,j;



int f[MAXV];



if(full){



f[0]=0;



for(i=1;i<=v;i++)



f[i]=MINUSINF;



}



else {



memset(f,0,sizeof(f));



}



for(i=1;i<=n;i++){



for(j=v;j>=c[i];j--){



f[j]=max(f[j],f[j-c[i]]+w[i]);



}



}



if(f[v]<0) return -1;



else return f[v];



}







//算法4：算法3的常数优化，在v较大时优势明显，时间复杂度为O(nv)，空间复杂度为O(v)



int ZeroOnePack4(int n,int v,int c[],int w[],int full)



{



int i,j,sum=0,bound;



int f[MAXV];



if(full)



{



f[0]=0;



for(i=1;i<=v;i++)



f[i]=MINUSINF;



}



else memset(f,0,sizeof(f));



for(i=1;i<=n;i++) sum+=w[i];



for(i=1;i<=n;i++)



{



if(i>1) sum-=w[i-1];



bound=max(v-sum,c[i]);



for(j=v;j>=bound;j--)



{



f[j]=max(f[j],f[j-c[i]]+w[i]);



}



}



if(f[v]<0) return -1;



else return f[v];



}







int main(){



int i,j;



int n,v,c[MAXN],w[MAXN];



while(scanf("%d %d",&n,&v)!=EOF){



for(i=1;i<=n;i++) {



scanf("%d %d",&c[i],&w[i]);



}



printf("%d\n",ZeroOnePack1(n,v,c,w,0));



}



return 0;



}